1、专题四 函数、不等式中的恒成立问题 纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值关系如下：不等式类型与最值的关系xD，f(x)MxD，f(x)minMxD，f(x)MxD，f(x)maxMx0D，f(x0)MxD，f(
2、x)maxMx0D，f(x0)MxD，f(x)minMxD，f(x)g(x)xD，f(x)g(x)min0 xD，f(x)g(x)xD，f(x)g(x)max0 x1D1，x2D2，f(x1)g(x2)xD1，xD2，f(x)ming(x)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)xD1，xD2，f(x)ming(x)minx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)xD1，xD2，f(x)maxg(x)maxx1D1，x2D2，f(x1)g(x2)xD1，xD2，f(x)maxg(x)min注：上述的大于、小于改为不小于、不大于，相应的与最值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值，那么上述
3、结果可以用函数值域相应的端点值表述.例 1：已知两个函数 f(x)8x216xk，g(x)2x35x24x，x3,3，kR.(1)若对x3,3，都有 f(x)g(x)成立，求实数 k 的取值范围；(2)若x3,3，使得 f(x)g(x)成立，求实数 k 的取值范围；(3)若对x1，x23,3，都有 f(x1)g(x2)，求实数 k 的取值范围.解：(1)设 h(x)g(x)f(x)2x33x212xk，问题转化为 x3,3时，h(x)0 恒成立，即 h(x)min0，x3,3.令 h(x)6x26x120，得 x2 或 x1，h(3)k45，h(1)k7，h(2)k20，h(3)k9，h(x)
4、mink450，得 k45.(2)据题意：x3,3，使 f(x)g(x)成立，即为 h(x)g(x)f(x)0 在 x3,3上能成立，h(x)max0.h(x)maxk70，即 k7.(3)据题意：f(x)maxg(x)min，x3,3，易得 f(x)maxf(3)120k，g(x)ming(3)21，120k21，得 k141.例 2：已知函数 f(x)xln xaxb 在点(e，f(e)处的切线方程为 yax2e.(1)求实数 b 的值；(2)若存在 xe，e2，满足 f(x)14e，求实数 a 的取值范围.思维点拨：(1)利用 f(e)ae2e 求 b；(2)将 f(x)14e具体化即
5、a 1ln x 14x(分离参数法)，记 h(x)1ln x 14x，xe，e2，求出 hmin(x)即可.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,1)(1，).f(x)xln xaxb，f(x)ln x1ln2x a.f(e)a.又 f(e)eaeb，函数 f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为 y(eaeb)a(xe)，即 yaxeb.已知函数 f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为 yax2e，比较求得 be.实数 b 的值为 e.(2)由 f(x)14e，即 xln xaxe14e.问题转化为 a 1ln x 14x在e，e2上有解.令 h(x)1ln x 14x，xe，e2，则
6、h(x)14x2 1xln2xln2x4x4x2ln2x ln x2 xln x2 x4x2ln2x.令 p(x)ln x2 x，当 xe，e2时，有 p(x)1x 1x1 xx0.函数 p(x)在区间e，e2上单调递减.p(x)p(e)ln e2 e0.h(x)f(x)(或af(x)max(或 af(x)min(或 a0 恒成立(或有解)f(x)min0(或f(x)max0)解不等式，求参数的取值范围.例 3：已知函数 f(x)4x3x23，x0,2.(1)求 f(x)的值域；(2)设 a0，函数 g(x)13ax3a2x，x0,2.若对任意 x10,2，总存在 x20,2，使 f(x1)g
7、(x2)0.求实数 a 的取值范围.解：(1)方法一，对函数 f(x)求导，得 f(x)43 1x2x212.令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)在区间(0,1)上单调递增；当 x(1,2)时，f(x)0，f(x)在区间(1,2)上单调递减.又 f(0)0，f(1)23，f(2)815，当 x0,2时，f(x)的值域是0，23.方法二，当 x0 时，f(x)0；当 x(0,2时，f(x)0，且 f(x)431x1x4312 x1x23，当且仅当 x1x，即 x1 时，“”成立.当 x0,2时，f(x)的值域是0，23.(2)设函数 g(x)在区间0,2上
8、的值域是 A.对任意 x10,2，总存在 x20,2，使 f(x1)g(x2)0，0，23 A.对函数 g(x)求导，得 g(x)ax2a2.当 a0 时，g(x)0，函数 g(x)在区间(0,2)上单调递减.g(0)0，g(2)83a2a20，当 ag(x2)成立，求实数 a 的取值范围.例 4:已知函数 f(x)12x2(1x)ex(e 为自然对数的底数)，g(x)x(1a)ln xax，a1.解：(1)f(x)xex(1x)exx(1ex)，f(1)1e，即所求切线的斜率为 1e.又 f(1)12，则切点坐标为1，12，故曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y12(1e)(x1)，即
9、 2(e1)x2y2e10.(2)g(x)11ax ax2x2a1xax2xax1x2，a0，当 0a0，得 0 x1.由 g(x)0，得 ax0 得 x1，由 g(x)0 得 0 xg(x2)成立，等价于 f(x)在1,0上的最小值大于 g(x)在e,3上最小值.当 x11,0时，f(x)x(1ex)0，f(x)在1,0上递减，f(x)minf(0)1.由(2)知，g(x)在e,3上递增，g(x)ming(e)e(a1)ae.1e(a1)ae，即 ae22ee1.又 a0.(1)当 a34时，求函数 f(x)的单调区间；(2)对任意 x1e2，均有 f(x)x2a，求 a 的取值范围.注：e
10、2.718 28为自然对数的底数.思维点拨：(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范 围，然后证明所得的范围满足题意即可.解：(1)当 a34时，f(x)34ln x x1，函数的定义域为(0，)，且：f(x)34x12 x1x3 4x34x x13 x12x，因此函数 f(x)的单调递增区间是(3，)，单调递减区间是(0,3).(2)由 f(1)12a，得 0a 24.当 00，故 q(x)在1e2，17 上单调递增，q(x)q17.由得 q17 2 77p17 2 77p(1)0，q(x)0.由知对任
11、意 x1e2，t2 2，)，g(t)0，即对任意 x1e2，均有 f(x)x2a.综上所述，所求的 a 的取值范围是0，24.【方法点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；考查数形结合思想的应用.【跟踪训练】已知函数 f(x)x2eax(a0，x0,2时，函数 g(x)的最小值为 g(0)0；f(x)(ax22x)eax，又 a0，令 f(x)0 得，x10，x22a.当2a2，即1a0 时，在0,2上 f(x)0，函数 f(x)在0,2上单调递增.函数f(x)maxf(2)4e2a.由 4e2a1 得，aln2，1aln2.当 02a2，即 a1 时，在0，2a 上 f(x)0，在2a，2 上 f(x)0，函数 f(x)在0，2a 上单调递增，在2a，2 上单调递减.f(x)maxf2a 4a2e2.由 4a2e21，得 a2e.a1.综上所述，a 的取值范围是(，ln 2.
