1、(文科）数学第 1页（共 10页）2020 年银川市第九中学、石嘴山第三中学、平罗中学高三年级三校联考（文科）数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上）题目123456789101112答案DABABBCACDAD二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.)13._6_14._ 3 _15._2 _16.(1,2三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分）17.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD中，PD 底面 ABCD，且底面 ABCD 为平行
2、四边形，若60DAB，2AB，1AD .（1）求证：PABD；（2）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为45，求点 D 到平面 PBC 的距离.解.（1）1AD，2AB，60DAB，60cos2222ADABADABBD，3BD(文科）数学第 2页（共 10页）222ADBDAB，ADBD，2 分PD 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，PDBD，4 分又 ADPDD，BD 平面 PAD，PA 平面 PAD，BDPA.6 分综上，PABD得以证明.（2）设点 D 到平面 PBC 的距离 h，由（1）知 BCBD，1322BCDSBCBD，7 分ABCDPD平面,PCD是 PC 与底面 AB
3、CD 所成的角，45PCD，2PCPD，1332323P BCDV.8 分22 2PCCD，22PBPDDB，1BC ，222BCPBPC，PBBC，1722BCPSBC PB，10 分177326D BCPhVh，又P BCDD BCFVV，7363h，解得2 217h.12 分(文科）数学第 3页（共 10页）18.（本小题满分 12 分）已知,a b c 分别为ABC的内角,A B C 的对边.sin4sin8sinaABA.（1）若1,6bA，求sin B；（2）已知3C，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长.解:（1）由 sin4sin8sinaABA，得 48a aba，即4
4、8ab.因为1b ，所以4a.3 分由41sinsin 6B，得1sin8B.6 分（2）因为482 44ababab，7 分所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立.8 分因为ABC的面积11sin4 sin3223SabC.9 分所以当44ab时，ABC的面积取得最大值，此时222412 4 1 cos133c ，则13c，11 分所以ABC的周长为513.12 分19.（本小题满分 12 分）某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名，25 周岁以下的工人 200 名为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他
5、们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25(文科）数学第 4页（共 10页）周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)根据“25 周岁以上(含 25 周岁)组”的频率分布直方图，求 25 周岁以上(含25 周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于 80
6、的工人为生产能手，请你根据已知条件完成22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？生产能手非生产能手总计25 周岁以上(含 25 周岁)组25 周岁以下组总计附：22n adbckabcdacbd，nabcd.P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：(1)由“25 周岁以上(含 25 周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70100.50.050.350.357020773(件)(文科）数学第 5页（共 10页）综上，25 周岁以上(含 25 周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为 7
7、3件3 分(2)采用分层抽样，“25 周岁以上(含 25 周岁)组”应抽取工人 10030030020060(名)，“25 周岁以下组”应抽取工人 10020030020040(名)4 分由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上(含 25 周岁)的工人共有 600.005103(名)，设其分别为 m1，m2，m3；25 周岁以下的工人共有 400.005102(名)，设其分别为 n1，n2，5 分则从这 5 人中抽取 2 人的所有基本事件为(m1，m2)，(m1，m3)，(m1，n1)，(m1，n2)，(m2，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m
8、3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共 10 个分7 分记“至少抽到一名25 周岁以下组的工人”为事件 A，事件 A 包含的基本事件共 7 个故107)(AP，8 分(3)由频率分布直方图可知，25 周岁以上(含 25 周岁)的生产能手共有 60(0.020.005)1015(名)，25 周岁以下的生产能手共有 40(0.032 50.005)1015(名)，则 22 列联表如下：生产能手非生产能手总计25 周岁以上(含 25 周岁)组15456025 周岁以下组152540总计307010010 分K2100152515452604030701.7862.706.(文科）数学第 6页
9、（共 10页）综上，没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”12 分20（本小题满分 12 分）已知椭圆 E：22221(0)xyabab，其短轴长为 4，离心率为1e，双曲线221xymn（0m，0n）的渐近线方程为 yx ，离心率为2e，且121e e.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设椭圆 E 的右焦点为 F，过点(4,0)G作斜率不为0 的直线交椭圆 E 于 M，N 两点，设直线 FM 和 FN 的斜率分别为1k，2k，试判断12kk是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.来源:学科网 ZXXK解：（1）由题意可知：24b，2b，1nm ，双曲线的离心
10、率212nem，2 分121ee，椭圆的离心率221 e，3 分212212cbeaa，2 2a.4 分(文科）数学第 7页（共 10页）椭圆的标准方程为：22184xy.5 分（2）设直线 MN 的方程为(4)(0)yk xk，22(4)28yk xxy，消去 y 整理得：2222(12)163280kxk xk，设11(,)M x y，22(,)N xy，则21221621kxxk，212232821kx xk，7 分1212121212(4)(4)2222yyk xk xkkxxxx122112121212(4)(2)(4)(2)26()16(2)(2)(2)(2)xxxxx xxxkk
11、xxxx9 分将21221621kxxk，212232821kx xk，代入上式得121226()160 x xxx，即120kk.所以12kk是定值，定值为 0.12 分21.（本小题满分 12 分）已知函数()sincosf xxxaxx，Ra.（1）当1a 时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）当2a 时，若方程()30f x 在区间0,2 上有唯一解，求 a 的取值范围.解：（1）当1a 时，sincosf xxxxx，所以 2sincos1fxxxx，01f.2 分(文科）数学第 8页（共 10页）又因为 01f ，所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为
12、1yx.4 分（2）当2a 时，1sincos1fxaxxx.设 1sincos1h xaxxx，2cossinh xaxxx，6 分因为2a，0,2x,所以 0hx.所以 h x 在区间 0,2 上单调递减8 分因为 010h，11202haa ，所以存在唯一的00,2x ，使 00h x，即00fx.所以 f x 在区间00,x上单调递增，在区间0 2x，上单调递减10 分因为 0=fa，2f，又因为方程 30f x 在区间 0,2 上有唯一解，所以 23a.12 分请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑
13、22（10 分）已知直线l：30 xy与曲线C：2239xy，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(文科）数学第 9页（共 10页）（2）将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转 30得到的直线 l，这两条直线与曲线C 分别交于异于极点的 P，Q 两点，求 OPQ的面积.解：（1）直线l 的方程为：33yx，cossinxy直线l 极坐标方程为：6R；2 分曲线C 的方程：2239xy，即2260 xyy，极坐标方程为：6sin.5 分（2）将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转 30得到的直线 l，则 l 极坐标方程为：23，6 分设1OP
14、，2OQ，则16sin36，26sin3 33OQ，8 分所以 OPQ的面积121119 3sin3 3 326224S .10 分23（10 分）已知函数1()212f xxx的最小值为 m（1）求 m 的值；（2）若,a b c 为正实数，且 abcm，证明：22213abc解：（1）根据题意,函数113,122()21312,22xxf xxxxx 2 分(文科）数学第 10页（共 10页）所以()f x 为在1,2单调递减,在 1,2单调递增,3 分所以min1()1,1.2f xfm即5 分（2）由(1)知,1m ,所以1,abc6 分又因为,a b c 为正实数,222abab,222bcbc,222acac,所以 22222abcabbcac,即222abcabbcac,8 分所以22221()222abcabcabbcca2223()abc,即22213abc 10 分
