1、数列中的计数问题原理与应用一基本原理1.数列中的计数问题的基本形式如下:记数列落在区间的个数为,讨论数列的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量的计数功能,通过不等式,由于为正整数,从而实现对自变量的计数,当然,这里面需要一丝丝取整背景,需要读者注意.进一步:目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式:2.高斯取整函数:表示实数的整数部分,即是不大于实数的最大整数. ,常称为的“小数部分”或“尾数部分”.3.高斯函数图像及小数部分图像.取整函数的图象. 小数函数:的图象性质: 定义域:; 性质:定义域:; 值域:; 值域:; 下面我们通过例子分析.二典例分析例1.在等差数列中,.(1)求
2、数列的通项公式;(2)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.解析:(1)由可得而,则,于是,即.(2)对任意mN,则,即,而,故,由题意可知,于是,即.例2.已知等差数列的前5项和为105,且.(1)求数列的通项公式;(2)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.解析:(1)由已知得:解得,所以通项公式为.(2)由,得,即.,是公比为49的等比数列,.例3(2020新高考1卷)已知公比大于的等比数列满足(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和解析:(1)由于数列是公比大于的等比数列,设首项为,公比为,依题意有,解得解得,或(舍),所以
3、,所以数列的通项公式为.(2)由题意,即,当时,当时,则例4.(2022新高考1卷)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且(1)证明:;(2)求集合中元素的个数解析:(1)设等差数列公差为,由,知,故,由,知,故;故,整理得,得证(2)由(1)知,由知:即,即,因为,故,解得故集合中元素的个数为9个三习题演练1(2023届温州一模)已知数列是等差数列,且,成等比数列给定,记集合的元素个数为(1)求,的值;(2)求最小自然数n的值,使得解析:(1)设数列的公差为,由,成等比数列,得,解得,所以,时,集合中元素个数为,时,集合中元素个数为;(2)由(1)知,时,=20012022,记,显然数列是递增数列,所以所求的最小值是11.习题2已知公比大于的等比数列满足(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和解析:(1)由于数列是公比大于的等比数列,设首项为,公比为,依题意有,解得解得,或(舍),所以,所以数列的通项公式为.(2)由题意,即,当时,当时,则