1、第八章 机械能守恒定律专题强化 机械能守恒定律的应用功能关系的理解和应用学习目标1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.3.知道常见的几种功能关系，知道功是能量转化的量度.一、多物体组成的系统机械能守恒问题1.多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的.2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.3.机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或EkEp来求解.(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减
2、小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式EkEp来求解.若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式EAEB来求解.如图1所示，斜面的倾角30，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.图1答案12解析设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：m2gm1gsi
3、n 30(m1m2)v2A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：m1v2m1gsin 30，由得12.机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系.(2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等.(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等.二、链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守
4、恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化.如图2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？图2答案解析方法一(取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心与A点最初位置在同一水平面上，则重力势能的减少量为：EpmgL由机械能守恒得：mv2mgL，则v.方法二(将铁链看做两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB部分移到AA位置.重力
5、势能减少量为Epmg由机械能守恒得：mv2mg则v.三、利用机械能守恒定律分析多过程问题(2019启东中学高一下学期期中)如图3，光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，物块距离地面足够高，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R m，所对应的圆心角为53，sin 530.8，cos 530.6，g10 m/s2.图3(1)若M5m，求小球运动到B处时的速度大小；(2)若M5m，求小球从C点抛出
6、后下落高度h m时到C点的水平位移；(3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？答案(1)2 m/s(2) m(3)Mm解析(1)小球从A到B：M、m系统机械能守恒(Mm)v2MgxABmgxABsin 53在RtOAB中，得xAB，解得v2 m/s；(2)小球从B到C，根据机械能守恒，有mv2mvC2mgR(1cos 53)小球离开C后做平抛运动，xvCthgt2解得x m；(3)小球从A到B：M、m组成的系统机械能守恒(Mm)vB2MgxABmgxABsin 53线断后，小球从B到C，vC0mvC2mvB2mgR(1cos 53)联立解得Mm.机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命
7、题，一般为多过程问题，难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律.四、功能关系的理解与应用功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化.具体功能关系如下表：功能量转化关系式重力做功重力势能的改变WGEp弹力做功弹性势能的改变WFEp合外力做功动能的改变W合Ek除重力、系统内弹力以外的其他力做功机械能的改变WE机两物体间滑动摩擦力对物体系统做功机械能转化为内能Ffx相对Q如图4所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量
8、为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中()图4A.重力做功2mgRB.机械能减少mgRC.合外力做功mgRD.克服摩擦力做功mgR答案D解析从P到B的过程中，小球下降的高度为R，则WGmgR，选项A错误；小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mgm，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgRWfmvB2，联立以上两式解得：WfmgR，即克服摩擦力做功mgR，机械能减少mgR，故B错误，D正确；根据动能定理知：W合mvB2mgR，故C错误.(多选)如图5所示，木块静止
9、在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中，下列说法正确的是()图5A.木块的机械能增量为FfxB.子弹的机械能减少量为Ff(xd)C.系统的机械能减少量为FfdD.系统的机械能减少量为Ff(xd)答案ABC解析木块机械能的增量等于子弹对木块的作用力Ff 做的功Ffx，A对；子弹机械能的减少量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功Ff(xd)，B对；系统减少的机械能等于产生的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，EFfd，C对，D错.1.(功能关系)(多选)(2018白
10、水中学高一下学期期末)如图6所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30的固定斜面，其运动的加速度大小为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体()图6A.重力势能增加了mghB.克服摩擦力做功mghC.动能损失了mghD.机械能损失了mgh答案CD解析这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误；加速度ag，则摩擦力Ffmg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功WfFf2hmg2h，故B错误；由动能定理可知，动能损失量为EkF合2hmg2hmgh，故C正确；机械能的损失量为EFfxmg2hmgh，故D正确
11、.2.(链条类机械能守恒问题)(2018树德中学期末)如图7所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，Lx0)时，链条的速度大小为_.(用x0、x、L、g、表示)图7答案解析链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以AB面为零势能面，则x0gx0sin mv2xgxsin 解得v3.(系统机械能守恒的计算)(2018正定中学期末考试)如图8所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA2OB2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g)图8(1)在杆转动
12、到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B球的作用力为多大？是推力还是拉力？答案(1)(2)mgl(3)mg推力解析(1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为，有mg2lmglmvA2mvB2vA2l，vBl联立解得vB，vA(2)对A球，由动能定理得mg2lWmvA2联立解得Wmgl(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，设杆对B球有向下的拉力F，根据向心力公式有mgFm，解得Fmg负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反，即向上，所以对
13、B球的作用力为推力.4.(系统机械能守恒的计算)(2018许昌市高一下学期期末)如图9所示，一轻质竖直弹簧，下端与地面相连，上端与质量为m的物体A相连.弹簧的劲度系数为k，A处于静止状态，此时弹簧的弹性势能为Ep.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻质挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为M的物体B并从静止状态释放.则当弹簧向上变为原长时，物体A和B的速度大小分别为多少？(已知重力加速度为g)图9答案均为解析没有挂物体B时，设弹簧的压缩量为x，对A，有：mgkx解得：x挂上物体B后，弹簧向上变为原长时，物体A和B的速度大小一样
14、，设为v，从开始运动到弹簧变为原长的过程中，把A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有：Ep(mM)v2mgxMgx解得：v.一、选择题1.(多选)(2018南京外国语学校期末)如图1所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()图1A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D.小球从下落到从右侧离
15、开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案BC2.(多选)如图2所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是()图2A.M球的机械能守恒B.M球的机械能减小C.M和N组成的系统的机械能守恒D.绳的拉力对N做负功答案BC解析因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误.3.(多选)(2019济南市高一下期中)如图3所示，A和
16、B两个小球固定在一根轻杆的两端，mBmA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90的过程中()图3A.B球的动能增加，机械能增加B.A球的重力势能和动能增加C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量D.A球和B球的总机械能守恒答案BD解析A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增加；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A球的重力势能和动能的增加量与
17、B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误，B、D正确.4.(多选)(2018厦门市高一下学期期末)如图4所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹(可视为质点)以速度v0沿水平方向射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.若子弹相对木块静止时，木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d，木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是()图4A.FflMv2B.FfdMv2C.Ffdmv02(Mm)v2D.Ff(ld)mv02mv2答案ACD解析画出运动过程示意图，从图中不难看出，当木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d时，子弹相对于地面发生的位移
18、为ld.由牛顿第三定律知，子弹对木块的作用力大小也为Ff.子弹对木块的作用力对木块做正功，由动能定理得FflMv2木块对子弹的作用力对子弹做负功，由动能定理得Ff(ld)mv2mv02由得Ffdmv02(Mm)v2所以，选项A、C、D正确.5.如图5所示为低空跳伞表演，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是()图5A.运动员的重力势能减少了mghB.运动员的动能增加了mghC.运动员克服阻力所做的功为mghD.运动员的机械能减少了mgh答案B解析在运动员下落h的过程中，重力势能减少了mgh，故A错误；根据
19、牛顿第二定律得，F合mamg，则根据动能定理得，合力做功为W合F合hmgh，则动能增加了mgh，故B正确；合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则运动员克服阻力所做的功为mgh，故C错误；重力势能减少了mgh，动能增加了mgh，故运动员机械能减少了mgh，故D错误.6.(多选)某运动员采用蹲踞式起跑，在发令枪响后，左脚迅速蹬离起跑器，在向前加速的同时提升身体重心.如图6所示，假设该运动员的质量为m，在起跑时前进的距离s内，重心升高量为h，获得的速度为v，重力加速度为g，则此过程中()图6A.运动员克服重力做功WGmghB.运动员的机械能增加了mv2C.运动员的机械能增加
20、了mv2mghD.运动员对自身做功Wmv2mgh答案ACD解析运动员在此过程中重心升高量为h，获得的速度为v，故重力势能增加mgh，动能增加mv2，则机械能增加mv2mgh，A、C正确，B错误；运动员对自身做的功等于其机械能的增加量，D正确.7.如图7所示，一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)()图7A.h B.1.5hC.2h D.2.5h答案B解析释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向
21、下加速运动，a、b组成的系统机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mghmghmv2(3m)v2，可得v；b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h.所以a能达到的最大高度为Hhh1.5h，B正确.8.(2018荆州中学期末)如图8所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上.放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()图8A.弹簧的劲度系数为B
22、.此时弹簧的弹性势能等于mghmv2C.此时物体B的速度大小也为vD.此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上答案A解析由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力，即Fmg，弹簧伸长的长度为xh，由Fkx得k，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mghmv2Ep，则弹簧的弹性势能Epmghmv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；对A，根据牛顿第二定律有Fmgma，又Fmg，得a0，故D错误.9.(多选)(2018平顶山市高一下学期期末)如图9所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v12 m/s顺时针运行，质量m2.0 kg的小物块从与传送带等高的光滑水
23、平地面上的A处以初速度v24 m/s向左滑上传送带，若传送带足够长，已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g10 m/s2，下列判断正确的是()图9A.物块离开传送带时的速度大小为2 m/sB.物块离开传送带时的速度大小为4 m/sC.摩擦力对物块做的功为12 JD.系统共增加了12 J的内能答案AC解析小物块先向左做匀减速直线运动，然后小物块向右做匀加速运动，当速度增加到与传送带速度相同时，以2 m/s向右做匀速运动，故A正确，B错误；根据动能定理，摩擦力对物块做的功等于物块动能的减少量：Wm(v12v22)2.0(2242) J12 J，故C正确；小物块先向左做匀减速直线运动，加速度大小
24、为ag4 m/s2，物块与传送带间的相对位移为：x1 m2 m4 m，小物块向右做匀加速运动时物块与传送带间的相对位移为：x22 m m0.5 m，故系统增加的热量为：Qmg(x1x2)0.42.010(40.5) J36 J，故D错误.10.(多选)(2018高邮中学高一下学期期末)如图10所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑.现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑.设小球始终与轨道接触，重力加速度为g.则()图10A
25、.下滑过程中a球和b球组成的系统机械能守恒B.下滑过程中a球机械能守恒C.小球a滑过C点后，a球速度为2D.从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为mgR答案AD11.(拓展提升)(多选)(2018天津三中期末考试)如图11所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻质定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()图11A.环到达B点时，重物上升的高度为B.环到达B点时，环与重物的速度大小相等C.环从A到B，环减少的机械能等于重物
26、增加的机械能D.环能下降的最大高度为d答案CD解析环到达B点时，重物上升的高度hdd(1)d，A错误；环到达B点时，环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等，故环的速度大于重物的速度，B错误；因为环与重物组成的系统机械能守恒，所以环减少的机械能等于重物增加的机械能，C正确；设环能下降的最大高度为H，此时环与重物的速度均为零，重物上升的高度为hd，由机械能守恒定律，得mgH2mg(d)，解得Hd，D正确.二、非选择题12.(2018黑龙江省实验中学高一下学期期末)如图12所示，质量都是m的物体A和B，通过轻绳跨过轻质定滑轮相连，斜面光滑，倾角为，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力.开始时A物体离地的
27、高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，求：图12(1)A物体将要落地时的速度多大？(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大？答案(1)(2)h(1sin )解析(1)两物体组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，得：mghmghsin (mm)v2解得：v(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地的高度为H，根据机械能守恒定律得：mv2mg(Hhsin )，解得Hh(1si
28、n ).13.素有“陆地冲浪”之称的滑板运动深受广大青少年喜爱.如图13所示是由足够长的斜直轨道、半径R12 m的凹形圆弧轨道和半径R23.6 m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内.其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上，一可视为质点、质量为m1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：图13(1)滑板滑至M点时的速度大小；(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力大小；(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P距水平面的高度.答案(1)8 m/s(2)42 N(3)5.4 m解析(1)对滑板由P点滑至M点，由机械能守恒得mghmvM2，解得vM8 m/s.(2)对滑板滑至M点时受力分析，由牛顿第二定律得FNmgm，解得FN42 N.(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则有mgm，则vN6 m/s滑板从P点到N点机械能守恒，则有mghmgR2mvN2，解得h5.4 m.
