1、第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(理)第5节 数学归纳法第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识.了解数学归纳法的原理.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识整合主干知识第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识数学
2、归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，推出当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立上述证明方法叫做数学归纳法nk1第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识质疑探究2：数学归纳法两个步骤有什么关系？提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误(1)第一步中，验算nn0中的
3、n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2或3等(2)第二步中，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，掌握“一凑假设，二凑结论”的技巧第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解析：观察等式左边的特征易知选C.答案：C1用数学归纳法证明 1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证 n1 成立时，左边需计算的项是()A1 B1aC1aa2D1aa2a3第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 11213141n21n2 1n
4、4 12n 时，若已假设 nk(k2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解析：因为假设nk(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k2.答案：B第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识3已知 f(n)1n 1n1 1n2 1n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2
5、)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解析：从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项答案：D第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_.解析：易得f(k1)f(k).答案：第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热
6、点题型整合主干知识答案：2k5用数学归纳法证明：“1121312n11)”，由 nk(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项的项数是_解析：nk 时，左边11212k1，当 nk1 时，左边1121312k112k11.所以左边应增加的项的项数为 2k.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识聚集热点题型第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识用数学归纳法证明等式典例赏析 1 已知 nN*，证明：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n.思路索引等式
7、的左边有 2n 项，右边有 n 项，左边的分母是从 1 到 2n 的连续正整数，末项与 n 有关，右边的分母是从 n1 到 nn 的连续正整数，首、末项都与 n 有关第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识证明(1)当 n1 时，左边11212，右边12，等式成立；(2)假设当 nk 时等式成立，即112131412k1 12k 1k1 1k2 12k，第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识那么当 nk1 时，左 边 1 12 13 14 12k1 12k 12k11 12
8、k11k1 1k2 12k 12k112k1 1k2 1k3 12k12k11k112k1第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1k111k121k1k1k1k1右边，所以当 nk1 时等式也成立综合(1)(2)知对一切 nN*，等式都成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识拓展提高(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分
9、利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练1用数学归纳法证明：对任意的 nN*，11313512n12n1n2n1.证明：(1)当 n1 时，左边 11313，右边121113，左边右边，所以等式成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)假设当 nk 时等式成立，即113 13512k12k1k2k1，则当 nk1 时，113 13512k12k112k12k3k2k112k12k3 k2k312k12k3第十
10、一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 2k23k12k12k3 k12k3k12k11，所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN*等式都成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识用数学归纳法证明不等式典例赏析 2 用数学归纳法证明：1n211213 12n12n(nN*)思路索引利用假设后，要注意不等式的放大和缩小证明(1)当 n1 时，左边112，右边121，3211232，即命题成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关
11、人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)假设当 nk 时命题成立，即1k21121312k12k，则当 nk1 时，1121312k12k112k212k2k1k22k12k2k1k12.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识又 11213 12k12k112k212k2k 2n12均成立证明：(1)当 n2 时，左边11343；右边 52.左边右边，不等式成立(2)假设当 nk 时不等式成立，即113 115 112k1 2k12.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识
12、则当 nk1 时，113 115 112k1 112k11 2k12 2k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2k112.当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识典例赏析3 用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n为正整数思路索引当nk1时，把42(k1)13k3配凑成42k13k2的形式是解题的关键证明(1)当n1时，421131291能被13整除(2)假设当nk时，4
13、2k13k2能被13整除，则当nk1时，用数学归纳法证明整除性问题第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识方法一 42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除方法二 因为42(k1)13k33(42k13k2)(42k1423k23)3(42k13k2)42k113，42k113能被13整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除，当nk1时命题也成立
14、，由(1)(2)知，当nN*时，42n13n2能被13整除第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识拓展提高 用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练3已知n为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1整除证明：(1)当n1时，an1
15、(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除(2)假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么当nk1时，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识即当nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意nN*，an1(a1)2n1能被a2a1整除第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识思路索引关键是搞清nk到nk1时对角线增加的条数，看顶点
16、的变化可知对角线的变化从而可解证明 因为三角形没有对角线，所以n3时，f(3)0，命题成立用数学归纳法证明几何问题典例赏析 4 用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)12n(n3)(nN，n3)第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识假设 nk(k3)时，命题成立，即 f(k)12k(k3)，则当 nk1 时，凸 k 边形由原来的 k 个顶点变为 k1 个顶点，对角线条数增加 k1 条所以 f(k1)f(k)k112k(k3)k112(k1)(k1)3所以当 nk1 时命题成立，由，可知对任何 nN且 n3，命题恒成
17、立.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识拓展提高 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练4平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2n2个部分证明：(1)当n1时，n2n21122，而一圆
18、把平面分成两部分，所以n1命题成立(2)设nk时，k个圆分平面为k2k2个部分，则nk1时，第k1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分对nk1也成立第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2n2个部分备课札记_第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识提升学科素养第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科
19、素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 (理)归纳、猜想、证明第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(本题满分 12 分)(2015九江模拟)设数列an的前 n 项和为Sn，并且满足 2Sna2nn，an0(nN*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设 x0，y0，且 xy1，证明：anx1 any1 2n2.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识审题视角(1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明
20、(2)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证满分展示(1)解：分别令 n1,2,3，得2a1a211，2a1a2a222，2a1a2a3a233，an0，a11，a22，a33.第1步第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识猜想：ann.2 分 第2步由 2Sna2nn 可知，当 n2 时，2Sn1a2n1(n1)，得 2ana2na2n11，即 a2n2ana2n11.3 分 第3步()当 n2 时，a222a2121，a20，a22.4 分第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学
21、聚焦热点题型整合主干知识()假设当 nk(k2)时，akk，那么当 nk1 时，a2k12ak1a2k12ak1k21ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.第4步即当 nk1 时也成立.6 分ann(n2)显然 n1 时，也成立，故对于一切 nN*，均有 ann.7 分第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)要证 nx1 ny1 2n2，只要证 nx12 nx1ny1ny12(n2).8 分 第5步即 n(xy)22 n2xynxy12(n2)，将 xy1 代入，得 2 n2xyn1n2，
22、即只要证 4(n2xyn1)(n2)2，第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识即 4xy1.10 分x0，y0，且 xy1，xyxy2 12，即 xy14，故 4xy1 成立，所以原不等式成立.12 分第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识答题模板 第1步 1 寻找特例 a1，a2，a3 等第2步 猜想 an 的公式第3步 转换递推公式为 an 与 an1 的关系第4步 用数学归纳法证明 an.验证递推公式中的第一个自然数 n2.推证 ak1 的表达式为 k1.补验 n1
23、，说明对于 nN*成立第5步 分析法证明第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识温馨提醒(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)证明 nk 到 nk1 这一步时，不要忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法如本题：2Sn1a2n1n1，2(SnSn1
24、)a2na2n11 推导 an 与 an1 的递推关系，再推出 an，则不是数学归纳法(4)本题第二问中不等式证明不是关于 n 的不等式，由 xy1 来推证，则不能称为数学归纳法第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2015常德模拟)设 a0，f(x)axax，令 a11，an1f(an)，nN*.(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列an的通项公式(2)用数学归纳法证明你的结论(1)解：因为 a11，所以 a2f(a1)f(1)a1a；a3f(a2)a2a；a4f(a3)a3a.猜想 anan1a(nN*)第十一章201
25、6年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)证明：当 n1 时，a11 猜想正确假设 nk(k1，kN*)时猜想正确，则 akak1a，则 ak1f(ak)aakaakaak1aaak1aak1a1ak11a.这说明，nk1 时猜想正确由知，对于任何 nN*，都有 anan1a.第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1一种方法数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2两点注意运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要归纳假设，否则就不是数学归纳法第十一章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识点击进入WORD链接提能课时冲关
