1、专题七 概率与统计 题型 1 概率与统计概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题后，就以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道大题(都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题).连续五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势在全国高考中会得到延续！例 1：(2019 年新课标)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停
2、止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假设0.5，
3、0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性.X101P(1)(1)(1)(1)(1)解：X 的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1),X 的分布列为(2)证明：由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1.因此 pi0.4pi10.5 pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi4(pipi1).又p1p0p10，pi1pi(i0,1,2，7)为公比为4，首项为 p1 的等比数列.解：由可得 p8 p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p
4、1p0)4813p1.由于 p81，故 p13481，p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)4413p1 1257.p4 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 12570.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题.本小题主要考查概率、分布列等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力；(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要
5、知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握.统计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！【跟踪训练】1.(2016 年新课标)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1：图 7-1以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更
6、换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2,0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；X
7、16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.X 的分布列为：(2)由(1)知，P(X18)0.44，P(X19)0.68，P(Xn)0.5 中，n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当 n19 时，E(Y)19200 5000.2 10000.08 15000.044040.当 n20 时，E(Y)202005000.0810000.044080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.题
8、型 2 离散型随机变量的期望与方差随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是层层递进的关系.因此，这类试题经常是以两个小题的形式出现，第一问是为第二问作铺垫的.例 2:(2017 年天津)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1个红灯的概率.为12，13，14.解：(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0)11
9、2 113 114 14，P(X1)12113 114 112 13114 112113 141124，P(X2)112 131412113 141213114 14，P(X3)121314 124.随机变量 X 的分布列为X0123P14112414124随机变量 X 的数学期望为E(X)014111242143 1241312.(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148.这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.【规律方
10、法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；(2)首先确定 X 的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望.(3)离散型随机变量分布列的性质 p1p2pn1，这条性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒，否则将失去自我检查的机会.【跟踪训练】2.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加过与否相互独立.规定：若前 4 次都没有通过测试，则
11、第 5 次不能参加测试.(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率；(2)如果获得足够学分升上大学或参加 5 次测试就结束，记该生参加测试的次数为 X，求变量 X 的分布列及均值 E(X).5 次测试，假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通解：(1)记“该学生升上大学”为事件 A，其对立事件为 A，则 P(A)C1413 23323 234 642431681112243.P(A)1P(A)1112243131243.(2)该学生参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X2)13219，P(X3)C12132313 427，P(X4)C131323213234 427168
12、12881，P(X5)C1413 2333281.故 X 的分布列为X2345P1942728813281E(X)2193 427428815328132681.题型 3 独立性检验独立性检验是新课标增加的内容，高考试卷多次以解答题形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起足够的重视.例 3：(2017 年新课标)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如图 7-2：图 7-2(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量
13、不低于 50 kg”，估计 A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01).附：养殖法箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2nadbc2abcdacbd解：(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，由题意知 P(A)P(BC)P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012 0
14、.014 0.0240.0340.040)50.62，故 P(B)0.62.新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故 P(C)0.66.因此，事件 A 的概率估计值为 0.620.660.4092.养殖法箱产量6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.K22006266343821001009610415.705.(3)新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 为 50 0.5
15、0.340.06852.35(kg).【规律方法】(1)本题是独立性检验问题，关键是由 22列联表确定 a，b，c，d，n 的值.高考对独立性检验这部分的要求是：了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本思想、方法及 其 简 单 应 用.在 复 习 中，不 可 小 视.(2)利 用 公 式 K2 nadbc2abcdacbd计算要准确，近似计算要精确到小数点后三位，可选择满足条件 P(K2k0)a 的 k0 作为拒绝域的临界值.分类喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男2330女11总计50【跟踪训练】3.大型综艺节目最强大脑中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速
16、还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表：表(1)成功完成时间/分0,10)10,20)20,30)30,40人数/人101055并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表：表(2)(1)将表(1)补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.8
17、28(2)现从表(2)中成功完成时间在0,10)内的 10 名男生中任意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在0,10)内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X).附参考公式及数据：K2nadbc2abcdacbd，其中nabcd.分类喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男23730女91120总计321850解：(1)故能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为喜欢盲拧与性别有关.由表中数据可得 2502311792302032185.2235.024，(2)依题意可得：X 的可能取值为 0,1,2,3，则P(X0)C37C310 724，P(X1)C27C13C310 2140，P(X2)C17C23C310 740，P(X3)C33C310 1120.故 X 的分布列为X0123P72421407401120则 E(X)0 724121402 7403 1120 910.
