1、第六节空间向量及其运算考情展望1.考查空间向量基本定理及其意义.2.考查空间向量的数量积及坐标运算.3.利用向量的数量积、判断向量的平行与垂直关系一、空间向量的有关概念及定理1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作ab.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab.(2)共面向量定理：若两
2、个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc.应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面且同过点Pxy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)二、数量积及坐标运算1两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abb
3、a；分配律：a(bc)abac.2空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b1已知空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则()A.abcBabcC.abc D.abc【解析】如图所示，()()abc.【答案】B2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2【解析】ab，bka，即(6,
4、21,2)k(1,0,2)，解得或【答案】A3已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_【解析】(ab)(ab)a2b242(2)2(4)262(3)22213.【答案】134已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_【解析】cosa，b.【答案】考向一 130空间向量的线性运算图761如图761所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).【思路点拨】结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则及数乘向量运算求解【尝试解答】(1)P是
5、C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，a(acb)abc，又ca，(abc)(ac)abc.规律方法11.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用，表示、及.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.对点训练图762如图762所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)
6、设E是棱DD1上的点，且，试用，表示.【解】(1)，().(2)().考向二 131空间向量的共线、共面问题图763如图763，已知平行六面体ABCDABCD，E、F、G、H分别是棱AD、DC、CC和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面【思路点拨】利用共面向量定理来证明，即证明存在实数x，y满足xy成立【尝试解答】取a，b，c，则2ba2a()ba(baca)bc.与b、c共面，即E、F、G、H四点共面规律方法21.点共线问题的证法：,证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三点共线，即证明与共线.2.点共面问题的证法：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四
7、点共面，只要能证明xy，或对空间任一点O，有xy或xyz(xyz1)即可.对点训练已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内【解】(1)由已知3，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且过同一点M，所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内考向三 132空间向量的数量积及其应用图764如图764所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1BD.
8、【思路点拨】在平行六面体中，先选定三个不共面的向量为基底如、.(1)求|时，用、把表示出来，再用|a|计算；(2)把，用基底表示出来，再用公式cos |求夹角(3)证明0即可【尝试解答】(1)设a，b，c，则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.abc，|abc|.线段AC1的长为.(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为.则cos |cos，|.abc，bc，(abc)(bc)abacb2c20112222，|.cos |.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)证明c，ba，c(ba)cbca(1)(1)0.AA1BD.规律方法31.利用数量积解决问题的两条
9、途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.对点训练二面角l为60，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长为()图765A2aB.aCaD.a【解析】，cos，cos 120|22222()a2a24a220a2a4a2，|2a.【答案】A易错易误之十四基底选择不当而致误1个示范例1个防错练(2012浙江高考)已知矩形ABCD，AB1，BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A
10、存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】如图，在图(1)中，易知AECF，BEEFFD.此处易出现没有求出AE、EF、BE、FD、FC的长而导致无法进行判断求解.在图(2)中，设a，b，c，则a，bb，c90，a，c，此处易出现不能通过分析建立基底，将问题转化为变量的取值问题而致误.则abc，3b，故3b210，故AC与BD不垂直，A不正确；ab，bc，所以acb2cos .当cos ，即时，0，故B正确；a2b，2bc，所以ac4b2cos (cos 2)，故无论为何值0，故C不正确【防范措施】(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角ABDC大小在变化，即在变化，因此以、为基向量，同时也便于运算.,(2)注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去.如图766，空间四边形OABC中，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_图766【解析】()|cos，|cos，OBOC，AOBAOC，0，即，cos，0.【答案】0
