1、高二年级2020-2021学年度第一学期数学学科期末考试及学分认定试卷一选择题1. 抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线的知识直接可得答案.【详解】抛物线的准线方程是故选：C2. 已知命题 “”，则是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意，根据全称命题的否定是特称命题，需要否定结论这个概念，选.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定积分的几何意义，即可求出结果.【详解】因为表示圆面积的一半，所以.故选A【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记定积分的几何意义即可，属于基础题型.4. 已知，是椭圆：的两个
2、焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ）A. B. C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义可求.【详解】由椭圆：知，所以，由椭圆的定义知，则的周长为：.故选：A.5. 已知函数在处的导数为1，则（ ）A. 0B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数在处的导数为1，则.故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题6. 函数的递增区间是（ ）A. B. 和C. D. 和【答案】C【解析】【分析】求导后，由可解得结果.【详解】因为的定义域为，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.【点睛】本
3、题考查了利用导数求函数的增区间，属于基础题.7. 已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，通过解方程组，利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】的焦点，直线的方程为代入抛物线的方程，可得，解得，交点为，即有.故选：C.8. 设是函数的导函数， 的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的图象，由的符号，确定原函数的单调性，确定的图象.【详解】从的图象可以看出当， ， 在上为增函数；当时， ， 在上为减函数；当时，
4、， 在上为增函数，符合的图象是C.故选：C.【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.9. 长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理.【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：设平面的法向量为则可得：取则 =设直线与平面的夹角为则，.故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.10. 已知条件：条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简、，再根据是的充分不必要条件，
5、由是的真子集求解.【详解】解不等式，解得或.解不等式，即，即，解得.所以，或，.因为是的充分不必要条件，所以，或，可得或，所以，故选：B.11. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可【详解】圆x22x+y2+=0的圆心（1，0），半径为：，双曲线的渐近线方程为：y=x，由点到直线的距离可得到：，解得=，即，可得e=故选C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上
6、的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.12. 已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，再根据单调性解不等式，即得结果.【详解】令，则，所以在上单调递减，故选：B【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.二填空题13. 双曲线的渐近线方程为等于_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得的值，进而求得双曲线的渐近线的方程.【详解】由题意，双曲线的焦点在上，且，所以双曲线的渐近线
7、的方程为.故答案为：.14. 已知是函数的极值点，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】由已知条件可得出，可求得的值，然后分析导数在附近的符号变化，由此可求得实数的值.【详解】由，得因为是的极值点，所以，即，所以此时，当时，；当时，因此是函数的极小值点，即符合题意故答案为：.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误15. 设是抛物线上的一个动点，是抛物线的焦点，若，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】先判断点在抛物线内，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，根据抛物线定义，结合图形，得到，即可得出结果
8、.【详解】因为，所以点在抛物线的内部，如图，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，根据抛物线的定义可得，又是抛物线上的一个动点，所以，当且仅当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为4.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解抛物线上一动点到定点（定点在抛物线内部）与焦点距离和的最值问题时，通常需要过该动点向准线作垂线，利用抛物线的定义，将问题转为求抛物线上一点到准线以及定点距离的最值问题，结合图形，即可求解.16. 已知对于恒成立，则的最大值为_.【答案】0【解析】【分析】设f（x）=+lnx，依题意，af（x）min，利用导数法可求得f（x）=+lnx的极小值，也是最小值，从而可得a的最大值【详解】设
9、f（x）=+lnx，f（x）=+=，a+lnx，对任意x，2恒成立，af（x）min，令f（x）=0，得：x=1；当x1时，f（x）0，f（x）=+lnx单调递减；当1x2时，f（x）0，f（x）=+lnx单调递增；f（x）min=f（1）=0，a0，a的最大值为：0故答案为0【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、等价转化思想与导数法求极值的综合应用，求得f（x）=+lnx的最小值是关键三解答题17. 已知椭圆：.（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）求通过点且被点平分的弦所在的直线方程.【答案】（1）焦点坐标是和，离心率；（2）.【解析】【分析】（1）直接由方程可得，进而可得
10、交点坐标及离心率；（2）设交点分别为，则，两式作差利用中点坐标公式及斜率公式可得直线斜率，从而得解.【详解】（1）由得，焦点坐标是和；离心率（2）显然直线不与轴垂直，可设此直线方程为，设交点分别为，则，又，直线方程为即18. 设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题：方程有实数解.（1）若命题真命题，求实数取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的标准方程求得参数范围；（2）再求出命题为真时参数的范围，然后由复合命题的真假确定参数范围【详解】（1）由题意，解得即的范围是（2）命题真时，命题“”为真，命
11、题“”为假，则一真一假真假时，假真时，综上的取值范围是【点睛】方法点睛：本题考查由复合命题的真假求参数范围掌握复合命题的真值表是解题关键复合命题的真值表：真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真19. 如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。【详解】（1）四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，B
12、F，BC 平面BCF平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则， ,设是平面CDF的一个法向量，则即令，解得又是平面AEFB的一个法向量，平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。20. 已知函数，其导函数为，且.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）在上的最小值是，最大值是.【解析】【分析】（1）求出导函数，由，求出的值，然后由，求出切线方程.（2）先求出函数在上的单调性，从而可得出其最大值和最小值.
13、【详解】（1）因为函数，所以，由，得，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由（1）可知，当时，当时，所以在单增，在单减.所以，又，所以，所以，在上的最小值是，最大值是.21. 已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得动点到直线的距离等于到点的距离，轨迹抛物线定义可得答案；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，写出、的方程，分别与抛物线方程联立，求得两点坐标，得到直线的方程，由直线系方程可得答案.
14、【详解】（1）设，动点到直线的距离比到点的距离大即动点到直线的距离等于到点的距离，由抛物线定义可得曲线的方程为.（2）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由（1）抛物线方程为，所以，整理得，解得，直线的方程为，与抛物线联立，整理得，解得,所以，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，关键点是设出直线、的斜率求得它们的方程分别与抛物线方程联立后，可得直线的方程，考查学生的分析问题、解决问题和运算求解能力.22. 已知函数，（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对(-3，-2)，1，3 ，不
15、等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，无极大值（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数可求得结果；（2）求导后，令得或，对与的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为，根据（2）中的单调性求出和代入后得对(-3，-2)恒成立，列式可解得结果.【详解】（1）当时，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，无极大值.（2）当时，定义域为，令得或，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，当，即时，所以在上单调递减，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，（3）由（2）可知对(-3，-2)，在上单调递减，因为不等式恒成立，等价于，而，所以，即对(-3，-2)恒成立，所以，解得.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集
