1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标(重点)2会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系(难点)3掌握两点间的距离公式并会简单应用(重点)教材整理1两直线的交点坐标阅读教材P102P103“探究”以上部分，完成下列问题已知两直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.若两直线方程组成的方程组有惟一解则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4,1)B(1,4)C. D.【解析】由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.【答案】C教材整理2两点
2、间的距离阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题1平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.2两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)当P1P2x轴(y1y2)时，|P1P2|x2x1|.(3)当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|.已知点A(1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为_【解析】由两点间距离公式得|AB|5.【答案】5两直线的交点问题直线l过直线xy20和直线xy40的交点，且与直线3x2y40平行，求直线l的方程. 【精彩点拨】先求出交点，再由点斜式求方程或
3、设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程【自主解答】法一联立方程解得即直线l过点(1,3)因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y3(x1)，即3x2y90.法二因为直线xy20不与3x2y40平行，所以可设直线l的方程为xy4(xy2)0，整理得(1)x(1)y420，因为直线l与直线3x2y40平行，所以，解得，所以直线l的方程为xy0，即3x2y90.1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解2过两条相交直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点
4、的直线方程可设为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含直线l2)1求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程【解】法一由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率k1.故直线方程为yx，即xy0.法二l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得1，直线l的方程为5x5y0，即xy0.两点间距离公式的应用已知ABC的三个顶点坐标是A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积【精彩点拨】(1)先依据已知条件，画出草图
5、，判断ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解【自主解答】 (1)法一|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|.ABC是等腰直角三角形(2)ABC的面积SABC|AC|AB|2226.1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满
6、足勾股定理2若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰ABC的腰长【解】因为|AD|2.在RtABD中，由勾股定理得|AB|2.所以等腰ABC的腰长为2.坐标法的应用探究1在如图331所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|BD|吗？图331【提示】设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)|AC|.|BD|.故|AC|BD|.探究2已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|BC|.【提示】以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如
7、图所示的平面直角坐标系设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间距离公式得|BC|，|AM|，故|AM|BC|.在ABC中，AD是BC边上的中线求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)【精彩点拨】【自主解答】以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0)|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)1坐标法的定义
8、：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法2利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系3用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2成立【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2|CM|2m2n2(ma)
9、2(nb)2，|BM|2|DM|2(ma)2n2m2(nb)2，所以|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.1已知M(2,1)，N(1,5)，则|MN|等于()A5B.C.D4【解析】|MN|5.【答案】A2过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yxm平行，则|AB|的值为()A6B.C2D不能确定【解析】由kAB1，得1，ba1.|AB|.【答案】B3已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是_【解析】l1与l2相交，则有，a2.【答案】a24设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_. 【解析】设A(x,0)，B(0，y)，AB的中点为P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4,0)，B(0，2)，|AB|2.【答案】25分别求经过两条直线2xy30和xy0的交点，且符合下列条件的直线方程(1)平行于直线l1：4x2y70；(2)垂直于直线l2：3x2y40.【解】解方程组得交点P(1,1)(1)若直线与l1平行，k12，斜率k2，所求直线方程为y12(x1)，即：2xy10.(2)若直线与l2垂直，k2，斜率k，所求直线方程为y1(x1)，即：2x3y50.
