1、山东省青岛市2021届高三数学5月自主检测（三模）试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1集合AxN|ylog4（x38），集合ByN|y2|x1|，xR，则（RA）B（）A（0，2B（1，2C0，1，2D1，22z（1+i）2i（i为虚数单位），则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设，是空间两个不同平面，a，b，c是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（）A若，b，则bB若直线a与b相交，a，b，则与相交C若，a，则aD若，a，b，ba，c，则bc4行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：a11a
2、22a21a12，已知Sn是等差数列an的前n项和，若0，则S15（）AB45C75D1505已知1，Maa，Nab，Pba，则M，N，P的大小关系正确的为（）ANMPBPMNCMPNDPNM6已知直线l：3x+my+30，曲线C：x2+y2+4x+2my+50，则下列说法正确的是（）A“m1”是曲线C表示圆的充要条件B当m3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C“m3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D当m2时，曲线C与圆x2+y21有两个公共点7若将函数f（x）2sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）A2
3、BC1D8定义在R上的奇函数f（x）的图象连续不断，其导函数为f（x），对任意正实数x恒有xf（x）2f（x），若g（x）x2f（x），则不等式g（log3（x21）+g（1）0）的解集是（）A（0，2）B（2，2）C（，2）D（2，1）（1，2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长（单位：毫米），将所得数据分成6组，其分组及频数情况如表：分组（单位：毫米）70，75）75，80）80，85）85，90）90，95）95，100）频数10
4、0100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，95，100）分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是（）Am250B鱼苗体长在90，100）上的频率为0.16C鱼苗体长的中位数一定落在区间85，90）内D从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间80，90）上的次数的期望为3010已知曲线C：1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A若m3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B若曲线C的离心率e2，则m27C若m3，则曲线C上不存在点P，使得F1PF2D若m3，P为C上一个动点，则PF1F2面积的最大值为311在平面
5、直角坐标系中，A（t，），B（8m，8m），C（7m，0），O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B若t1，m4，则ABC的面积等于4C若t1，m4，则+的最小值为5D若tsin，（0，），且与的夹角0，），则m（，5）12在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1CC1DD12BG4，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A直线A1G与AEF所在平面相交B三棱锥C1BCD的外接球的表面积为80C点C到平面AEF的距离为D二面角C1ADB中，M平面C1AD，N平面BAD，P
6、，Q为棱AD上不同两点，MPAD，NQAD，若MPPQ2，NQ1，则MN三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差X近似服从正态分布N（0，0.52）（误差单位：mm），已知尺寸误差的绝对值在0.5mm内的零件都是合格零件若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为 附：随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6826，P（2+2）0.954414若sin（），（0，），则cos2 15若（2）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 16定义方程f（x）f（x）的实数根x0
7、叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）x，h（x）ln2x，（x）sinx（0x）的“新驻点”分别为，则，的大小关系为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，点E在AA1上，且BEEC1（1）证明：平面BCE平面B1C1E；（2）若AEA1E，求二面角C1B1EC的余弦值18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ccosA（ba）cosC（1）若A，点D在边AB上，ADBC1，求BCD的外接圆的面积；（2）若c2，求ABC面积的最大值19一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两
8、部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如表所示：选手S1S2S3S4S5笔试（x分）8790919295抢答（y分）8689899294对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望E（）附：，20在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：|FM|+|FN|MN|；|OM|ON|MN|8；直线MN的
9、方程为y6p（1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：1相交于A，B两点，l与直线y交于点Q，以PQ为直径的圆与直线y交于Q，Z两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点21已知函数f（x）xlnx+（1）求f（x）的最小值；（2）若存在区间a，b，+），使g（x）xf（x）在a，b上的值域为k（a+2），k（b+2），求实数k的取值范围22若数列an满足：对于任意nN+，只有有限个正整数m使得amn成立，则记这样的m的个数为（an）+（1）求数列（）+的通项公式；（2）在等比数列bn中，bn+1是函数fn（x）的极小值点
10、，求b1的取值范围；（3）求数列（n2）+）+的通项公式参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合AxN|ylog4（x38），集合ByN|y2|x1|，xR，则（RA）B（）A（0，2B（1，2C0，1，2D1，2解：因为集合AxN|ylog4（x38）xN|x380xN|x2，又集合ByN|y2|x1|，xRyN|y1，所以（RA）B1，2故选：D2z（1+i）2i（i为虚数单位），则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：（1+i）z2i（i为虚数单位），zi+1，则z在复平面内对应的点（
11、1，1）在第一象限故选：A3设，是空间两个不同平面，a，b，c是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（）A若，b，则bB若直线a与b相交，a，b，则与相交C若，a，则aD若，a，b，ba，c，则bc解：A由，b，则b或b，因此不正确；B若直线a与b相交，a，b，则与相交，也可能平行，因此不正确；C若，a，则a，或a，或a与相交，因此不正确；D若，a，b，ba，可得b，又c，则bc，因此正确故选：D4行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：a11a22a21a12，已知Sn是等差数列an的前n项和，若0，则S15（）AB45C75D150解：Sn是等差数
12、列an的前n项和，0，a9（10a7）0，解得a9+a710，S15（a1+a15）75故选：C5已知1，Maa，Nab，Pba，则M，N，P的大小关系正确的为（）ANMPBPMNCMPNDPNM解：根据题意，令a、b，则P（），M（），N（）根据幂函数yx在（0，+）上是增函数，可得PM；根据指数函数y（）x在R上是减函数，可得MN故选：B6已知直线l：3x+my+30，曲线C：x2+y2+4x+2my+50，则下列说法正确的是（）A“m1”是曲线C表示圆的充要条件B当m3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C“m3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D当m2时，曲线C与圆
13、x2+y21有两个公共点解：直线l：3x+my+30过定点P（1，0）；由曲线C：x2+y2+4x+2my+50，得（x+2）2+（y+m）2m21若曲线C表示圆，则m210，得m1或m1，故“m1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；当m3时，直线l为x+，圆C的圆心坐标为C（2，），半径为2，圆心到直线的距离d，则直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为2，故B错误；圆心C（2，m）到直线3x+my+30的距离为，解得m3，“m3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，故C正确；当m2时，曲线C的圆心坐标为（2，2），半径为，圆x2+y21的余弦为O（0，0），半径为1，|OC
14、|，曲线C与圆x2+y21没有公共点，故D错误故选：C7若将函数f（x）2sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）A2BC1D解：将函数f（x）2sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后，得到的y2sin（2x+）的图象关于y轴对称，函数f（x）2sin（2x+）2x+，则当2x+时，函数f（x）在0，上的最大值为2，故选：A8定义在R上的奇函数f（x）的图象连续不断，其导函数为f（x），对任意正实数x恒有xf（x）2f（x），若g（x）x2f（x），则不等式g（log3（x21）+g（1）0）的解集是（）A（0，2）B（2，
15、2）C（，2）D（2，1）（1，2）解：对任意正实数x恒有xf（x）2f（x），g（x）2xf（x）+x2f（x）x2f（x）+xf（x）0，定义在R上的奇函数f（x）的图象连续不断且g（x）x2f（x），函数g（x）是在R上单调递增的奇函数，g（log3（x21）+g（1）0，g（log3（x21）g（1）g（1），log3（x21）1且x210，解得：x（2，1）（1，2）故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长（单位：毫米），将
16、所得数据分成6组，其分组及频数情况如表：分组（单位：毫米）70，75）75，80）80，85）85，90）90，95）95，100）频数100100m350150n已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，95，100）分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是（）Am250B鱼苗体长在90，100）上的频率为0.16C鱼苗体长的中位数一定落在区间85，90）内D从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间80，90）上的次数的期望为30解：对于A，因为95，100）分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以95，100）分组对应的频率为0.0150.05，
17、n10000.0550，则m100010010035015050250，故选项A正确；对于B，鱼苗体长在90，100）上的频率为，故选项B错误；对于C，因为鱼的总数为1000，100+100+250450，100+100+250+350800，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间85，90）内，故选项C正确；对于D，由表中的数据 可知，鱼苗体长落在区间80，90）上的概率为P，设所抽取鱼苗体长落在区间80，90）上的次数为X，则X服从二项分布，即XB（50，0.6），则E（X）500.630，故选项D正确故选：ACD10已知曲线C：1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A若
18、m3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B若曲线C的离心率e2，则m27C若m3，则曲线C上不存在点P，使得F1PF2D若m3，P为C上一个动点，则PF1F2面积的最大值为3解：当m3时，双曲线方程为，所以a3，b，所以双曲线的渐近线方程为y，渐近线y的倾斜角为，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A正确；若曲线C的离心率e2，则，当焦点是在x轴上的椭圆时，0m9，此时a29，b2m，则，解得m27（舍去），当焦点是在x轴上的双曲线时，m0，此时a29，b2m，则，解得m27故B正确；当m3时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a29，b23，则F1，（），F2（），设P（x，y），则，x
19、2+y26，3x3，3，3，且当x时，满足F1PF2，故C错误；当m3时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的椭圆，此时a29，b23，则F1，（），F2（），PF1F2面积的最大值为，故D正确故选：ABD11在平面直角坐标系中，A（t，），B（8m，8m），C（7m，0），O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B若t1，m4，则ABC的面积等于4C若t1，m4，则+的最小值为5D若tsin，（0，），且与的夹角0，），则m（，5）解：|2t2+24，当且仅当t2，即t时，取“”，|的最小值是2，A对；当t1，m4时，A（1，2），B（4，2），C（3，0），可知ABx
20、轴且AB3，点C到AB的距离为2，ABC的面积为323，B错；点A关于x轴的对称点A1坐标为（1，2），则+的最小值为A1B5，C对；（0，），tsin（0，1，与的夹角0，），t7+m+0，得：m（3t）+123t3，令3ts2，3），则（3t）+1s+12+15，当且仅当s，即s2时取“”，m5，D对故选：ACD12在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1CC1DD12BG4，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A直线A1G与AEF所在平面相交B三棱锥C1BCD的外接球的表面积为80C点C到平面
21、AEF的距离为D二面角C1ADB中，M平面C1AD，N平面BAD，P，Q为棱AD上不同两点，MPAD，NQAD，若MPPQ2，NQ1，则MN解：对于A，FE延长线交GB延长线于H，连接AH，因为点E，F分别为线段BC，CC1的中点，AA1CC1DD12BG，所以A1GAH，因为AH平面AEF，A1GAEF，所以A1G平面AEF，所以A错；对于B，因为三棱锥C1BCD的外接球的半径为R2，三棱锥C1BCD的外接球的表面积为4R280，所以B对；对于C，因为E为BC中点，所以点C到平面AEF的距离等于点B到平面AEH的距离，设h为所求，因为，EH，AH2，cosEAH，sinEAH，2，因为VAB
22、EHVBAEH，所以，解得h，所以C对；对于D，过N作NK平面ABCD于K，连接KQ，于是KQAD，连接MN、MK，设二面角C1ADB为，因为C1DC为二面角C1ADB的平面角，所以tan，于是60，NKNQsin60，QKNQcos60，MK，MN，所以D错故选：BC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差X近似服从正态分布N（0，0.52）（误差单位：mm），已知尺寸误差的绝对值在0.5mm内的零件都是合格零件若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为3413附：随机变量服从正态分布N（，
23、2），则P（+）0.6826，P（2+2）0.9544解：由题意可知，合格率为P（0.5X0.5）0.6826，所以合格的零件总数为50000.68263413故答案为：341314若sin（），（0，），则cos2解：因为sin（）（sincos），（0，），可得sincos，两边平方，12sincos，可得2sincos，所以sin+cos，则cos2cos2sin2（cossin）（cos+sin）（）故答案为：15若（2）n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为160解：因为（2）n的展开式的二项式系数之和为64，所以2n64，所以n6，由二项式定理的通项公式可知 Tr
24、+1（2）6r（）r26r（1）rx3r，当r3时，展开式的常数项为：23（1）3160故答案为：16016定义方程f（x）f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）x，h（x）ln2x，（x）sinx（0x）的“新驻点”分别为，则，的大小关系为解：g（x），g（），解得1，h（x），由h（）h（），可得ln2，而h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）在（0，+）上单调递减，h（1）1h（1）ln2，当01时，h（）h（1）h（1）h（），此时h（）h（），所以1，（x）cosx，则cossin，所以tan1，又（0，），所以1，所以故答案为：四、解答题：本题共6小题，
25、共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，点E在AA1上，且BEEC1（1）证明：平面BCE平面B1C1E；（2）若AEA1E，求二面角C1B1EC的余弦值【解答】（1）证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，B1C1平面ABB1A1，又BE平面ABB1A1，所以B1C1BE，又因为BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面B1C1E，所以BE平面B1C1E，又BE平面BCE，所以平面BCE平面B1C1E；（2）解：由（1）可知，BE平面B1C1E，又B1E平面B1C1E，所以BEB1E，在RtBEB1中
26、，求得BB12，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则E（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），B1（1，0，2），所以，由（1）可知，平面B1C1E的一个法向量为，设平面B1CE的法向量为，则，即，令x1，则y2，z1，故，所以，故二面角C1B1EC的余弦值为18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ccosA（ba）cosC（1）若A，点D在边AB上，ADBC1，求BCD的外接圆的面积；（2）若c2，求ABC面积的最大值解：（1）根据正弦定理ccosA（ba）cosC可化为sinCcosA（sinBsinA）cosC，即sinAcosC+sinCcosAs
27、inBcosC，则sin（A+C）sinBsinC由于A+B+C，故sin（A+C）sinB，所以sinBsinBsinC，又sinB0，所以cosC因为C（0，），所以C又A，所以B（A+C）由正弦定理有，得ABBC1+1则BDABAD，在BCD中，由余弦定理得CD2BC2+BD22BCBDcosB12+（）221（）4+所以CD，则2R，所以R故BCD的外接圆的面积为SR2+（2）由（1）可知c2、C；根据余弦定理c2a2+b22abcosC；得4a2+b22ab（）a2+b2ab2abab（当且仅当ab时，等号成立），所以ab4+2，故SABCabsinC（4+2）+1（当且仅当ab时，
28、等号成立）19一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如表所示：选手S1S2S3S4S5笔试（x分）8790919295抢答（y分）8689899294对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望E（）附：，解：（1）由题意，（87+90+91+92+95）91，（86+89+89+92+94）90，则34，35，所以，则，所以y关于x的线性回归方程
29、为；（2）随机变量的可能取值为0，1，2，因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S2，S3，S4，S5共4人，他们笔试和抢答的成绩平均分分别为：89.5，90，92，94.5，平均分高于90分的有2人，所以P（0），P（1），P（2）故的分布列为： 01 2P所以E（）0+1+2120在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：|FM|+|FN|MN|；|OM|ON|MN|8；直线MN的方程为y6p（1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；（2）若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭
30、圆D：1相交于A，B两点，l与直线y交于点Q，以PQ为直径的圆与直线y交于Q，Z两点，求证：直线OZ经过线段AB的中点【解答】（1）解：若同时满足条件：由|FM|+|FN|MN|，可得MN过焦点F（0，），当|OM|ON|时，|MN|2p，而|OM|ON|MN|，所以不同时成立；若同时满足条件：由|FM|+|FN|MN|，可得MN过焦点F（0，），因为直线y6p不可能过焦点F（0，），所以不同时成立；只能同时满足条件：因为|OM|ON|MN|，且直线MN的方程为y6p，所以6p，解得，所以抛物线C的标准方程为；（2）证明：设，因为抛物线C：，则，故直线AB的斜率为，设A（x1，y1），B（x2
31、，y2），则有，两式相减可得，因为AB的中点为G，则有，因为PQ为直径，所以QZPZ，故Z（t，），直线OZ的斜率为，则kOGkoz，所以点O，G，Z三点共线，故直线OZ经过线段AB的中点21已知函数f（x）xlnx+（1）求f（x）的最小值；（2）若存在区间a，b，+），使g（x）xf（x）在a，b上的值域为k（a+2），k（b+2），求实数k的取值范围解：（1）由题意知，令f（x）0，得x2或x1（舍），当0x2时，f（x）0，f（x）在（0，2）上单调递减；当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上单调递增；fmin（x）f（2）3ln2（2）由题意知，g（x）xf（x）x2xlnx+
32、2，g（x）2xlnx1，当时，g（x）0恒成立，g（x）在，+）单调递增，方程g（x）k（x+2）有两个不同的实数根，即k在，+）有两个不同的解，设H（x），H（x），设G（x）x2+3x2lnx4，G（x）2x+3，当x时，G（x）0，G（x）在，+）单调递增，而ln40，G（1）0，H（x）在，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，而，H（1）1，k22若数列an满足：对于任意nN+，只有有限个正整数m使得amn成立，则记这样的m的个数为（an）+（1）求数列（）+的通项公式；（2）在等比数列bn中，bn+1是函数fn（x）的极小值点，求b1的取值范围；（3）求数列（n2）+）+的通项
33、公式解：（1）由，可得1mn2+1，mN*，数列的通项公式为；（2），若对于任意nN*恒成立，当x（，n2）时，fn（x）0，fn（x）在（，n2）上单调递增；当x（n2，ebn）时，fn（x）0，fn（x）在（n2，ebn）上单调递减；当x（ebn，+）时，fn（x）0，fn（x）在（ebn，+）上单调递增；bn+1ebn，即，则，令，则，当x（1，2）时，g（x）0，g（x）在（1，2）上单调递增，当x（2，+）时，g（x）0，g（x）在（2，+）上单调递减，符合题意；若，则，f1（x）的极小值点为，此时f2（x）0，则f2（x）无极值，不符题意；若，则，f1（x）的极小值点为b2eb1，b34，此时bn不是等比数列，不符题意；若，则，此时f1（x）0，则f1（x）无极值，不符题意；若，则，b21，又，b34，又，b44e，此时bn不是等比数列，不符题意；综上，；（3）由m2n可得，（n2）+k1，（k1）2+1nk2，kN，即数列（n2）+是0，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，又k2（k1）2+1+12k1，（n2）+）+1+3+5+2n1n2
