1、长春市2022届高三质量监测（三）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则A. B. C. D. 2.在复平面内，复数对应的点坐标为A. B. C. D. 3已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.抛物线过点，则的准线方程为A. B. C. D. 5.已知平面向量满足，且与的夹角为，则A. B. C. D. 6.函数图象的一个对称中心为A. B. C. D. 7.某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取
2、了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数（满分100分），则下列说法正确的是甲75798284868790919398乙73818183878895969799A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等C.街道乙的测评分数的众数为87D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大8.若点满足线性条件，则的最大值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则A. 4 B. 10 C. 16 D. 3210.函数的图象大致是11.已知边长为2的等边三角形，为的中点
3、，以为折痕，将折起，使，则过四点的球的表面积为A. B. C. D. 12.已知函数满足，当时，那么A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（其中15题，第一空2分，第二空3分）13.若，则 .14.已知，则的值为 .15.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则 ， .16.已知点是双曲线上的一点，设，的面积为，则的值为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. （12分）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践
4、活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：40,50）,50,60），60,70）,70,80）,80,90），90,100，并整理得到频率分布直方图：(I)求的值；()若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；()在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中按分层抽样随机抽取6人，再从这6人中随机取3人，求3人中成绩在90,100中至多1人的概率.18. （12分）如图，是外一点，的内角的对边分别为，已知.(I)求的大小;(II)若，且的面积是面积的2倍，求的值.19.
5、（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是以为底边的等腰三角形，平面平面，点分别为的中点.（I）求证：；（）若，求三棱锥的体积.20.（12分）已知椭圆的离心率为,长轴的两个端点分别为.（I）求椭圆的方程；（II）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点，求证：、三点共线.21（12分）已知函数.（I）若，求的单调区间；（）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知曲线为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，已
6、知曲线，曲线.（I）求曲线与的交点直角坐标（）设点分别为曲线,上的动点，求的最小值.23.（10分）选修4-5不等式选讲已知函数.（I）解不等式;（）若不等式有解，求实数的取值范围.长春市普通高中2022届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B【解析】2.C【解析】对应点是3.A【解析】当a0时，当且仅当a=1时，“=”成立，所以a1，有；若，有a0且a14.B【解析】把点（-4,4）代入得a=1,所以抛物线方程为，所以准线方程为y=-1.5.A【解析】6.D【解析】由得，当k=-1时，y=-1.7.D【解析】甲街道极差为
7、23，乙街道极差为26；甲街道平均数86.5，乙街道平均数88；乙街道众数81；甲街道中位数为86.5，乙街道中位数为87.5。8.D【解析】当直线y=-2x+z过（1,3）时，z有最大值5.9.C【解析】q=-3(舍)或q=2,所以。10.A【解析】f（x）为偶函数，且f（2）0.11.C【解析】AD,BD,CD互相垂直，所以所以选C.12.A【解析】f（21）=f（1+210）=。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【解析】14. 【解析】。15. 【解析】由通项公式易解。16.【解析】设，三、解答题17.（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可知a
8、=0.014.（2分）（2）平均成绩为（450.006+550.014+650.018+750.032+850.020+950.010）1072.6（6分）（3）根据分层抽样可知，成绩在80,90）中有4人，分别设为A,B,C,D，在90,100中有2人，分别设为a,b，（8分）从这6个人中随机选出3人的方案一共有ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、ADa、ADb、BCD、BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb、Aab、Bab、Cab、Dab,20种,（10分）其中至多包含90,100中1人的有ABC、ABD、ABa、ABb、ACD、ACa、ACb、ADa、ADb、
9、BCD、BCa、BCb、BDa、BDb、CDa、CDb，共计12种，（1分）因此，取出的3人中，成绩在90,100中至多一人的概率为（12分）18.（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）在ABC中，由及正弦定理，得，（2分）整理得2sinBcosBAC=cosBACsinBCA+sinBACcosBCA即2sinBcosBAC=sinB,因为在ABC中,sinB0,（4分）所以cosBAC=，又0BAC，所以BAC=，(6分）（2）由（1）知BAC=，因为，所以（8分）又（10分）所以，解得（12分）19.（本小题满分12分）【试题解析】（1）因为F为BC的中点，底面ABCD是边长为2的菱
10、形，DAB=，所以DCB=且DC=2CF=2，易知：DFC为直角三角形，故FDC=，而ADC=，则ADF=ADCFDC=，故DFAD,(2分）由平面ADP平面ABCD,平面ADP平面ABCD=AD,DF平面ABCD,所以DF平面ADP，（4分）又AE平面ADP，即AEDF.（6分）（2）由PAD是以AD为底边的等腰三角形，E为PD的中点，AE=，设DE=m，由余弦定理有，cosEDA=cosPDA，解得m=1，（8分）PAD为等边三角形，由平面PAD平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为（10分）由CDF的面积为，所以三棱锥D-CEF的体积为.（12分）20.（本小题满分12分）【试题解析】
11、解：（1）由长轴的两个端点分别为A(-2,0），B(2,0），可得a=2，由离心率为，可得，所以（2分）又,解得b=1,所以椭圆C的标准方程为.（4分）（2）设直线的方程为x=my+1，由得设，则（6分）所以，直线AM的方程为，所以所以（8分）所以即，所以N、B、Q三点共线。（12分）21.（本小题满分12分）【试题解析】（1）当a=1时，则。（1分）当时，因为x+11,且，所以所以，单调递增（3分）所以当a=1时，f(x）的单调递减区间为（-,0），单调递增区间为（0,+）.（4分）（2）恒成立等价于恒成立令，则的最小值大于等于0。（5分） 当a=0时，在区间上恒成立，符合题意；（6分）当时
12、，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，（8分）当x趋近于0时，趋近于-，当x趋近于+时，趋近于+,所以存在唯一,使,此时,即,(10分)则当时，单调递减；当时，单调递增。所以。令，解得。综上，实数的取值范围为。(10分)（2）解法二：,设,当时，令，【】22.（本小题满分10分）【试题解析】解：（1）曲线的普通方程为；（2分）曲线的直角坐标方程为；（4分）则交点M的直角坐标为（-1,0）.（5分）（2）曲线的直角坐标方程为，即为圆.（7分）|AB|的最小值即为圆心（1,0）到曲线（直线）的距离再减去半径1,（9分）即为.（10分）23.（本小题满分10分）（1）（2分）所以的解集为（3分）（7分）由图象可知，当有解时，即可，则的取值范围是。（10分）
