1、第九节圆锥曲线的综合问题基础盘查 直线与圆锥曲线的位置关系(一)循纲忆知1掌握解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的思想方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合思想(二)小题查验1判断正误(1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式 0()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()(4)直线 ykx1 与椭圆x25 y291 恒有两个公共点()(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式 0()2(人教 A 版教材例题改编)已知抛物线方程为 y24x.直线 l 过定点P(2,1)，斜率为 k.则 k_时，
2、直线 l 与抛物线有且只有一个公共点1 或12或 03椭圆x22 y21 的弦被点12，12 平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212 y211，x222 y221.两式相减得x1x2x1x22(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2 x1x22y1y212，即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212x12，即 2x4y30.2x4y304已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与曲线 y 2x1相切，则该双曲线的离心率为_解析：双曲线x2a2y2b21(
3、a0，b0)的渐近线方程为 ybax，由ybax，y 2x1，得ba2x22x10，由渐近线与曲线 y2x1相切可知 44ba20，得ba1，所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.2考点一 直线与圆锥曲线的位置关系(基础送分型考点自主练透)必备知识判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程即AxByC0，Fx，y0消去 y，得 ax2bxc0.第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bx
4、c0 的判别式为，则 0直线与圆锥曲线 C 相交；0直线与圆锥曲线 C 相切；b0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程解：(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得 a2，b 3，c1，椭圆的方程为x24 y231.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，由 d1 得|m|52.(*)|CD|2 1d22 145m2
5、2554m2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12xm，x24 y231得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.|AB|1122 m24m231524m2.由|AB|CD|5 34 得4m254m21，解得 m 33，满足(*)直线 l 的方程为 y12x 33 或 y12x 33.类题通法1利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用演练冲关(2015兰州、张掖联考)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A，B，C，若
6、|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线 AE，BD，分别交准线于点 E，D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点 F 是 AC 的中点，根据题意得 p32，抛物线的方程是 y23x.答案：y23x考点三 中点弦问题(常考常新型考点多角探明)必备知识遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆x2a2y2b21 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率kb2x0a2y0；在双曲线x2a2y2b21 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k
7、b2x0a2y0；在抛物线 y22px 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 kpy0.多角探明弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点归纳起来常见的命题角度有：(1)由中点弦确定直线方程；(2)由中点弦确定曲线方程；(3)由中点弦解决对称问题.角度一：由中点弦确定直线方程1已知(4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_解析：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2 x1x24y1y2.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212
8、，故直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.x2y80角度二：由中点弦确定曲线方程2(2015武汉调研)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()Ax245y2361 Bx236y2271Cx227y2181 Dx218y291解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差并化简变形得y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2，而y1y2x1x2013112，x1x22，y1y22，所以 a22b2，又因为
9、a2b2c29，于是 a218，b29.故选 D.答案：D角度三：由中点弦解决对称问题3已知双曲线 x2y231 上存在两点 M，N 关于直线 yxm对称，且 MN 的中点在抛物线 y218x 上，则实数 m 的值为_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x21y2131，x22y2231，x1x22x0，y1y22y0，由得(x2x1)(x2x1)13(y2y1)(y2y1)，显然 x1x2.y2y1x2x1y2y1x2x13，即 kMNy0 x03，M，N 关于直线 yxm 对称，kMN1，y03x0，又y0 x0m，Pm4，3m4，代入抛物线方程得 916m218m4，解得 m0 或8，经检验都符合答案：0 或8类题通法处理中点弦问题常用的求解方法1点差法即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足 “课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十八)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
