1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题预测2020年高考会有以下两点命题方式：以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：
2、(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空间直线与平面、平面与平面的位置关系3必记结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线1概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面(
3、)(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(4)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行B相交C垂直D互为异面直线答案C解析不论l，l还是l与相交，内都存在直线m使得ml.(2)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首
4、尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3答案B解析显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为1.(3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A30B45C60D90答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.(4)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的
5、命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案题型 平面的基本性质如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)由BE綊AF，G为FA中点，知BE綊GF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH.所以EF与CH共面，又DFH，所以C，D，F，E四点共面结论探究若举例说明中条件不变
6、，证明：FE，AB，DC交于一点证明由举例说明可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形，ECHF，且ECDF，四边形ECDF为梯形FE，DC交于一点，设FEDCM.MFE，FE平面BAFE，M平面BAFE.同理M平面BADC.又平面BAFE平面BADCBA，MBA，FE，AB，DC交于一点1证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内如举例说明(2)(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合2证明空间点共线问题的方
7、法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上3证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如举例说明中的结论探究 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交
8、，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点题型空间两直线的位置关系1(2018金华模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接GM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面2(2018邯郸调研
9、)在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_答案G1G2BC解析如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，因此可得G1G2BC.1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线
10、是异面直线2判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质(2)平行四边形的对边平行(3)平行线分线段成比例定理(4)公理4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B平行答案D解析如图，连接C1D，CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，B正确；在三角形C1DB中，MNBD，故C正确A1B与BD相交，MNBD，MN与A1B不可能平行，D错误题型 异面直线所成的角(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB
11、C120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.BCD答案C解析解法一：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使CBBD，C1B1B1D1，连接DD1，B1D.由题意知，C1B綊B1D，则AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角连接AD，在ABD中，由AD2AB2BD22ABBDcosABD，得AD.又B1DBC1，AB1，cosAB1D.解法二：将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理
12、知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos.解法三：过B作BHBC，交AC于H.以B为原点，以，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.则A(1，0)，B1(0,0,1)，C1(1,0,1)，(1，1)，(1,0,1)，cos，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.条件探究把举例说明的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1”，求异面直线AB1与BD所成的角解取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，易知BDB1E.在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1
13、与BD所成的角设AB1，则A1A，AB1，B1E，所以cosAB1E，因此AB1E，故异面直线AB1与BD所成的角为.求异面直线所成角的方法(1)几何法作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角(2)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos|求出异面直线的方向向量的夹角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.BCD答案C解析以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(1，0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以(1,0，)，(1,1，)，因为cos，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，选C.
