1、第四节数列求和基础盘查 数列求和的常用方法(一)循纲忆知1熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式；2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法(分组求和；拆项相消；错位相减；倒序相加；并项求和)(二)小题查验1判断正误(1)当 n2 时，1n21 1n1 1n1()(2)求 Sna2a23a3nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5()(4)若 Sn1234(1)n1n，则 S5025()2数列an的通项公式为 anncosn2，其前
2、 n 项和为 Sn，则 S2 015 等于()A1 002 B1 004C1 006 D1 008解析：因为数列 anncosn2 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故 S4a1a2a3a42.因此 S2 015S2 012a2 013a2 014a2 015(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 013a2 014a2 0152 01242(2)1 004.3(人教 A 版教材习题改编)数列 112，314，518，7 116，(2n1)12n，的前 n 项和 Sn的值等于_.n21 12n4设 an123n，则 Sn 1
3、a1 1a2 1an_.解析：an123nnn12.1an2nn121n 1n1.Sn2112121313141n 1n121 1n1 2nn1.2nn1考点一 公式法求和(基础送分型考点自主练透)必备知识1等差、等比数列的前 n 项和公式(1)等差数列：Snna1an2na1nn12d；(2)等比数列：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.2一些常见数列的前 n 项和公式(1)1234nnn12；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.题组练透1(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn()An
4、(n1)Bn(n1)C.nn12Dnn12解析：因为 a2，a4，a8 成等比数列，所以 a24a2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得 a12.所以 Snna1nn12dn(n1)故选 A.2若等比数列an满足 a1a410，a2a520，则an的前 n 项和Sn_.解析：由题意 a2a5q(a1a4)，得 20q10，故 q2，代入 a1a4a1a1q310，得 9a110，得 a1109.故 Sn109 12n12109(2n1)109(2n1)3(2013重庆高考)设数列an满足：a11，an13an，nN*.(1)求an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)已知bn是等
5、差数列，Tn 为其前 n 项和，且 b1a2，b3a1a2a3，求 T20.解：(1)由题设知an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an3n1，Sn13n13 12(3n1)(2)由(1)知 b1a23，b3a1a2a313913，b3b1102d，所以数列bn的公差 d5，故 T202032019251 010.类题通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之考点二 分组转化法求和(重点保分型考点师生共研)必备知识一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求
6、和后再相加减典题例析(2014山东高考)在等差数列an中，已知公差 d2,a2 是 a1 与a4 的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnn n+a(1)2，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12.所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由题意知 bnn n+a(1)2n(n1)所以 Tn122334(1)nn(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn242n2nn22，当 n 为奇数时，TnTn1(bn)n1
7、n12n(n1)n122.所以 Tnn122，n为奇数，nn22，n为偶数.类题通法分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和；(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数，的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论演练冲关 已知等比数列an中，首项 a13，公比 q1，且 3(an2an)10an1
8、0(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn13an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列bn的通项公式和前 n 项和 Sn.解：(1)3(an2an)10an10，3(anq2an)10anq0，即 3q210q30.公比 q1，q3.又首项 a13，数列an的通项公式为 an3n.(2)bn13an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，bn13an12(n1)即数列bn的通项公式为 bn2n13n1，Sn(13323n1)13(2n1)12(3n1)n2.考点三 错位相减法求和(题点多变型考点全面发掘)必备知识 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
9、构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的一题多变 典型母题(2014四川高考)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*)(1)若 a12，点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anbn 的前 n 项和 Tn.解(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有 2a842a72a7+2，解得 da8a72.所以 Snna1nn12d2nn(n1)n23n.(2
10、)函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意知，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.所以 da2a11.从而 ann，bn2n，所以 Tn12 222 323n12n1 n2n，2Tn1122 322 n2n1.因此，2TnTn112 122 12n1 n2n2 12n1 n2n2n1n22n.所以 Tn2n1n22n.题点发散 1 设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*)证明：数列bn为等比数列证明：由已知，bn2an0.当 n1 时，bn1bn
11、 2an1an2d.所以数列bn是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列题点发散 2 设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anb2n的前 n 项和 Sn.解：由例(2)可得 ann，bn2n，则 anb2nn4n.于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1.因此，Sn4Sn4424nn4n14n143n4n113n4n143.所以 Sn3n14n149.类题通法用错位相减法求和的注意事项(1)要善于识别
12、题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解考点四 裂项相消法求和(常考常新型考点多角探明)多角探明 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列 an的通项公式，达到求解目的.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如 an1nnk型；(2)形如 an1nk n 型；
13、(3)形如 ann1n2n22型.角度一：形如 an1nnk型1(2014广东高考)设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为Sn，且 Sn 满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1 的值；(2)求数列an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1a111a2a211anan113.解：(1)由题意知，S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令 n1，有 S21(1213)S13(121)0，可得 S21S160，解得 S13 或 2，即 a13 或 2，又 an 为正数，所以 a12.(2)由 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn
14、3)(Snn2n)0，则 Snn2n 或 Sn3，又数列an的各项均为正数，所以 Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又 a1221，所以 an2n.(3)证明：当 n1 时，1a1a11 1231613成立；当n2时，1anan1 12n2n1 12n12n1 1212n112n1，所以1a1a111a2a211anan116121315 12n112n116121312n1 161613.所以对一切正整数 n，有1a1a111a2a211anan113.角度二：形如 an1nk n 型2(2015江南十校联考)已知函数 f(x
15、)xa 的图象过点(4,2)，令an1fn1fn，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则S2 014()A 2 0131 B 2 0141C 2 0151 D 2 0151解析：由 f(4)2 可得 4a2，解得 a12，则 f(x)x12.an1fn1fn1n1 n n1 n，S2 014a1a2a3a2 014(2 1)(3 2)(4 3)(2 014 2 013)(2 015 2 014)2 0151.答案：C 角度三：形如 ann1n2n22型3(2013江西高考)正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)
16、令 bnn1n22a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN*，都有 Tn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为 an2n.(2)证明：由于 an2n，故 bnn1n22a2nn14n2n22 1161n21n22.Tn 1161 132 122 142 132 1521n121n121n21n22 1161 1221n121n22 1161 122 564.类题通法利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1an 1an2.“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十三)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
