1、第4讲函数性质的综合问题(习题课)函数的奇偶性与单调性(师生共研) 已知函数yf(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)【解析】由题意易知f(x)在(0，)上是减函数，又因为|a|ln 31，b(ln 3)2|a|，0cf(|a|)f(b)又由题意知f(a)f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)故选C【答案】C函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对
2、称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 已知定义域为(1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)0，则实数a的取值范围是()A(2，3) B(3，)C(2，4) D(2，3)解析：选A由f(a3)f(9a2)0得f(a3)f(9a2)又由奇函数性质得f(a3)f(a29)因为f(x)是定义域为(1，1)的减函数，所以解得2a3.函数的奇偶性与周期性(典例迁移) (一题多解)已知f(x)是定义域为R的
3、奇函数，且函数yf(x1)为偶函数，当0x1时，f(x)x3，则f_【解析】方法一：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x3，所以fffffff.方法二：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，由题意知，当1x0时，f(x)x3，故当1x1时，f(x)x3，当1x3时，1x21，f(x)(x2)3，所以f.【答案】【迁移探究】(变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数yf
4、(x1)为奇函数，当0x1时，f(x)x2，则f_解析：因为f(x)是R上的偶函数，yf(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x2，所以ffffff.答案：周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在0，1上有f(x)x2，则f()A BC D解析：选B函数f(x)的定义域是R，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数又f(x)f(2x)，
5、所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以fffff.因为在0，1上有f(x)x2，所以f，故f，故选B函数的奇偶性与对称性(师生共研) (1)已知定义域为R的函数f(x)在2，)上为增函数，且函数yf(x2)为偶函数，则下列结论不成立的是()Af(0)f(1) Bf(0)f(2)Cf(1)f(2) Df(1)f(3)(2)设函数f(x)在1，)上为增函数，f(3)0，且g(x)f(x1)为偶函数，则不等式g(22x)0的解集为_【解析】(1)函数yf(x2)为偶函数，将函数yf(x2)的图象向右平移2个单位长度得到函数yf(x)
6、的图象，所以yf(x)的图象关于直线x2对称，则函数f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(0)f(1)，f(0)f(2)，f(1)f(2)都成立，f(1)f(3)不成立，故选D(2)f(x)在1，)上为增函数，将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x1)的图象，则f(x1)在0，)上为增函数，即g(x)在0，)上为增函数，且g(2)f(21)f(3)0.不等式g(22x)0等价为g(22x)g(2)，因为g(x)f(x1)为偶函数，所以|22x|2，得0x2，即不等式的解集为(0，2)【答案】(1)D(2)(0，2)(1)由奇偶性延伸所得对称性问题的常见形式有：若函数
7、yf(x)为奇函数(偶函数)，则函数yf(xa)的图象关于点(a，0)对称(关于直线xa)对称；若函数yf(xa)为奇函数(偶函数)，则函数yf(x)的图象关于点(a，0)对称(关于直线xa对称)(2)几个等价关系：函数yf(x)的图像关于直线xa对称f(x)f(2ax)f(ax)f(ax)f(ax)及f(ax)都是偶函数函数yf(x)的图像关于点(a，0)对称f(x)f(2ax)f(ax)f(ax)f(ax)及f(ax)都是奇函数 1已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0 BmC2
8、m D4m解析：选B由f(x)2f(x)可知f(x)的图象关于点(0，1)对称，又易知y1的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0，1)对称，则x1xmx2xm10，y1ymy2ym12，所以(xiyi)02m.故选B2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_解析：因为定义在R上的奇函数满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x2对称，且f(0)0.由f(x4)f(x)知f(
9、x8)f(x)，所以函数的周期为8.又因为f(x)在区间0，2上是增函数，所以函数在区间2，0上也是增函数，如图所示，方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4，由对称性可知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x48.答案：8函数性质的综合性应用(师生共研) (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)4x1，则在(1，3)上，f(x)1的解集是()A BC D2，3)(2)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，现给出下列命题：函数f(x)是以2为周期的周期函数；函数f(x)是以4为周
10、期的周期函数；函数f(x1)为奇函数；函数f(x3)为偶函数，其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4【解析】(1)因为0x1时，f(x)4x1，所以f(x)在区间0，1上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间1，1上是增函数，因为f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又f1，所以f1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)1的解集为，故选C(2)偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，所以f(x)f(x)f(2x)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故错误，正确；
11、由f(x2)f(x)，可得f(x1)f(x1)又f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，故f(x1)为奇函数，正确；若f(x3)为偶函数，则f(x3)f(x3)，又f(x3)f(x3)，所以f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故错误，故选B【答案】(1)C(2)B求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调
12、性求解 1函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数解析：选B由f(x)f(2x)得f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数2已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的xR，都有f(x4)f(x)；对任意的x1，x20，2且x1x2，都有f(x1)f(x
13、2)；函数f(x2)的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(7)f(6.5)Df(4.5)f(6.5)f(7)解析：选C因为对任意的xR，都有f(x4)f(x)，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f(x2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于x2对称，因为x1，x20，2且x1x2，都有f(x1)f(x2)所以函数f(x)在0，2上为增函数，所以函数f(x)在2，4上为减函数易知f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)f(3.5)，则f(3.5)f(3)f(2.5
14、)，即f(4.5)f(7)f(6.5)思想方法系列3函数性质中“三个二级结论”的应用一、奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0. 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_【解析】函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【答案】2二、抽象函数的周期性(1)如果
15、f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)2，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(1)2，则f(17)_【解析】由函数yf(x1)的图象关于直线x1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数由f(x4)f(x)2，得f(x44)f(x4)2f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)f(128)f
16、(1)2.【答案】2三、抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称 设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，则下面关于f(x)的判定中正确命题的个数为()f(4)0；f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)的图象关于直线x2对称A1B2C3 D4【解析】因为f(x)是(，)上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(0)0，因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4)f(0)0，因为f(x2)f(x)，所以f(x1)1f(x)，令tx1，则f(t1)f(1t)，所以f(x1)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，而f(2x)f(2x)显然不成立故正确的命题是，故选C【答案】C
