1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系基础盘查一 直线与圆的位置关系(一)循纲忆知1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想(二)小题查验1判断正误(1)过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2()(2)过圆 O：x2y2r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0 xy0yr2()2(人教 A 版教材例题改编)已知过点 M(3，3)的直线 l 被圆 x2y24y210 所截得的弦长
2、为 4 5，则直线 l 的方程为_x2y90 或 2xy303过坐标原点且与圆 x24xy220 相切的直线方程为_解析：圆的标准方程为(x2)2y22.则圆心(2,0)，半径 r 2.设直线方程为 ykx.则|2k|k21 2，解得 k1，所以直线方程为 yx.yx基础盘查二 圆与圆的位置关系(一)循纲忆知能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)(二)小题查验1判断正误(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线
3、方程()3两圆交于点 A(1,3)和 B(m,1)，两圆的圆心都在直线 xyc20 上，则 mc 的值等于_解析：有题意可知线段 AB 的中点m12，2 在直线 xyc20 上，代入得 mc3.32(人教 B 版教材习题改编)两圆 x2y21 与(x4)2(ya)225 相切，则常数 a_.2 5或 0考点一 直线与圆的位置关系(基础送分型考点自主练透)必备知识直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断若 dr，则直线与圆相离；若 dr，则直线与圆相切；若 dr，则直线与圆相交(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的
4、一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果 0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交提醒 直线与圆的位置关系的判断多用几何法题组练透1“a1”是“直线 l：ykxa 和圆 C：x2y22 相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：直线 l：ykxa 经过定点 P(0，a)，显然当 a1 时，点 P在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 恒相交，故“a1”是“直线 l：ykxa 和圆 C：x2y22 相交”的充分条件；而当 a0 时，亦有直线 l 和圆 C 相交，所以“a1”是“直线 l：
5、ykxa 和圆 C：x2y22 相交”的不必要条件综上，“a1”是“直线 l：ykxa 和圆 C：x2y22 相交”的充分不必要条件答案：A2(2015江苏扬州中学月考)已知方程 x2xtan 1sin 0 有两个不等实根 a 和 b，那么过点 A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆 x2y21 的位置关系是_解析：由题意可知过 A，B 两点的直线方程为(ab)xyab0，圆心到直线 AB 的距离为 d|ab|ab21，而 ab1tan，ab 1sin，因此 d1sin 1tan21，化简后得 d1，故直线与圆相切相切类题通法判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则
6、用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法考点二 切线、弦长问题(重点保分型考点师生共研)必备知识1有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径 r构成直角三角形，即 r2l22d2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1 x2|1k2x1x224x1x2 或|AB|1 1k2|y1 y2|1 1k2y1y224y1y2.2过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率
7、 k，由垂直关系知切线斜率为1k，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证典题例析1(2014大纲全国卷)直线 l1 和 l2 是圆 x2y22 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为(1,3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于_解析：根据题意作出图象如图所示，连接 OA，OB，则|AO|102302 10，|OB|2，|AB|AO|2|OB|22 2，tan
8、BAO22 212，l1 与 l2 的夹角的正切值等于tan 2BAO 2tanBAO1tan2BAO21211443.答案：432(2014重庆高考)已知直线 xya0 与圆心为 C 的圆 x2y22x4y40 相交于 A，B 两点，且 ACBC，则实数a 的值为_解析：圆 C：x2y22x4y40 的标准方程为(x1)2(y2)29，所以圆心为 C(1,2)，半径为 3.因为 ACBC，所以圆心 C 到直线 xya0 的距离为3 22，即|12a|23 22，所以 a0 或 6.0 或 6类题通法1在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中
9、计算，往往能事半功倍2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题演练冲关1(2014重庆高考)已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_.解析：依题意，圆 C 的半径是 2，圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离等于 32 2 3，于是有|1aa2|a21 3，即a28a10，解得 a4 15.4 152(2014江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为_解析：因为圆心(2，1)到直线 x2y30 的距离 d|223|5 35，所
10、以直线 x2y30 被圆截得的弦长为24952 555.2 555考点三 圆与圆的位置关系(题点多变型考点全面发掘)必备知识1圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切两圆相离没有公共点，两圆相切有唯一公共点，两圆相交有两个不同的公共点2判断两圆的位置关系常用的方法是几何法 判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含提醒一题多变典型母题(2015合肥二模)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为()A 62 B32
11、C94D2 3 解析 由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得 ab2222213，即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立故选 C.答案 C题点发散 1 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相，则 ab 的最大值为_外切内切解析：由 C1 与 C2 内切，得 ab22221.即(ab)21，又 abab2214，当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为14.14题点发散 2 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为.相交，则公共弦所在的直线方程为.解
12、析：由题意得，把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程圆 C1：x2y22ax4ya20，圆 C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线方程答案：(2a2b)x3b2a20题点发散 3 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21，若两圆有四条公切线，则直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 的位置关系是_解析：由两圆存在四条切线，故两圆外离，ab22223.(ab)29.即 ab3 或 ab1，直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离相离类题通法1处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到“课后演练提能”见“课时跟踪检测(四十八)”(单击进入电子文档)“板块命题点专练（十二）”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
