1、直线与直线垂直层级(一)“四基”落实练1在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有 ()A1条B2条C3条 D4条解析：选B和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1， B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ()A45 B60C90 D120解析：选B取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG.易知IG，IH，HG相等，则HGI为等边三角形，所以IG与GH所成的角为60，即EF与GH所成的角为60.故选B.3(多选)如图，在正四棱柱ABCDA1
2、B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是 ()AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面解析：选ABC如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EFA1C1，则EF，A1C1确定一个平面；显然EF与CD异面；由几何关系可得A1C1BB1，A1C1BD，则EFBB1，EFBD.故选A、B、C.4.(多选)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是 ()A直线CC1与直线B1E相交BCC1与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1垂直解析：选A
3、CD因为CEB1C1且CEB1C1，所以四边形CEB1C1为梯形CC1与B1E必相交，A正确由几何图形可知B错误，C正确AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成的角为90，D正确故选A、C、D.5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A60 B75C90 D105解析：选C设BB11，如图，延长CC1至C2，使C1C2CC11，连接B1C2，则B1C2BC1，所以AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)连接AC2，因为AB1，B1C2，AC2，所以ACABB1C，则AB
4、1C290.6.如图，在四棱锥PABCD中，PAAB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是_解析：四边形ABCD是平行四边形，ABCD.PAB是PA与CD所成的角又PAAB，PAB90.答案：907.如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN等于_解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN即异面直线AC与BD所成的角MPN90.又PNAC4，PMBD3，MN5.答案：58.如图，在长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA 2.求：(1)BC和AC所成的角；(2)AA和
5、BC所成的角解：(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.层级(二)能力提升练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成的角为()A30 B60C90 D120解析：选C如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，取AB的中点P，连接B1P，则B1PC1M，易得B1PBN，所以异面直线
6、C1M与BN所成的角为90.故选C.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A060 B060C060 D060解析：选D如图，连接CD1，AC.因为CD1BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即D1CP.当点P从D1向A运动时，D1CP从0增大到60，但当点P与D1重合时，CPBA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是060.3.如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为_，异面直线BD1与AD所成角的正
7、弦值是_解析：AA1DD1，DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角连接BD，在RtD1DB中，sinDD1B.ADBC，D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)连接D1C，在D1BC中，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2， 高为4，D1B2，BC2，D1C2，D1B2BC2D1C2.D1CB90.sinD1BC，故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.答案：4.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB， VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角解：因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BCDE，因此ABC是 异面直线DE与AB所成的角又因为A
8、B是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.5.如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解：取AC的中点F，连接EF和BF.在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EFCD，FEB(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1.在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB
9、，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.层级(三)素养培优练如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B与AD1所成的角为90，试求AA1.解：如图，连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中A1D1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形所以A1BCD1.所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角因为异面直线A1B和AD1所成的角为90，所以AD1C90.易知ACD1是等腰直角三角形，所以AD1AC.因为底面ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，所以AC2sin 6026.所以AD1AC3.所以AA1 .
