1、第二节函数的单调性与最值基础盘查一 函数的单调性(一)循纲忆知1理解函数的单调性及其几何意义2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质(二)小题查验1判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()2(人教 A 版教材习题改编)函数 yx22x(x2,4)的增区间为_2,43若函数 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则 k 的取值
2、范围是_，12基础盘查二 函数的最值(一)循纲忆知1理解函数最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的最值(二)小题查验1判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y1x在1,3上的最小值为13()2(人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)2x1(x2,6)，则函数的最大值为_2考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义法设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2导数法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递增；如
3、果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递减题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x)1x1Df(x)|x|解析：当x0时，f(x)3x为减函数；当x0，32 时，f(x)x23x为减函数，当x32，时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)1x1为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.答案：C 2讨论函数f(x)axx21(a0)在x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x21
4、1x221.1x1x21，a0，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x)2，故函数f(x)在(1,1)上为减函数类题通法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数判断但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点师生共研)必备知识单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间典题例析 求
5、下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog 12(x23x2)解：(1)由于yx22x1，x0，x22x1，x0，即yx122，x0，x122，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令 ux23x2，则原函数可以看作 ylog 12u 与 ux23x2的复合函数令 ux23x20，则 x1 或 x2.函数 ylog 12(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上ux23x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog 12u 在(0，)上是单调减函数，ylog
6、12(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)类题通法求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结演练冲关1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数y|x22x1
7、|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1 2，1)和(12，)；单调递减区间为(，1 2)和(1,1 2)2设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)fx，fxk，k，fxk，取函数f(x)2|x|.当k 12时，求函数fk(x)的单调递增区间解：由 f(x)12，得1x1.由 f(x)12，得 x1 或 x1.所以 f12(x)2x，x1，12，1x1，2x，x1.故 f12(x)的单调递增区间为(，1)考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点多角探明)必备知识 函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐
8、标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最小值f(b)多角探明 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1
9、函数 f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)1x 为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x 11x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：函数f(x)log2x11x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三：解函数不等式3f(x)是定
10、义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，)B(8,9C8,9D(0,8)解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，xx89，解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数 f(x)a2x，x2，12x1，x2满足对任意的实数 x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为()A(，2)B，138C(，2 D138，2解析：由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有a2
11、0，a221221，由此解得a138，即实数a的取值范围是，138 .答案：B 类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值 “课后演练提能”见“课时跟踪检测(五)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
