1、广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=1，0，1，B=1，2，则AB=（）A1B0，1C1，0，2D1，0，1，22（5分）设i为虚数单位，则复数z=i（1i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），则2=（）A（3，7）B（3，9）C（5，7）D（5， 9）4（5分）设f（x）=2x+x4，则函数f（x）的零点位于区间（）A（2，3）B（1，2）C（0，1）D（1，0）5（5分）在ABC中，AB=
2、5，AC=3，BC=7，则BAC=（）ABCD6（5分）执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A12B10C8D67（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD8（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）ABCD9（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A若|AF|=3，则点A的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（1，2）10（5分）对于非空集合A，B，定义运算：AB=x|xAB，且xAB，已知M=x|axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则MN=（）A（a，d
3、）（b，c）B（c，ab，d）C（c，a）（d，b）D（a，cd，b）二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（1113题）11（5分）如图是某2015届高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为12（5分）函数y=ln（x2）+的定义域13（5分）已知为不等式组所表示的平面区域，E为圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）及其内部所表示的平面区域，若“点（x，y）”是“点（x，y）E”的充分条件，则区域E的面积的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题（坐标系与参数方程选做题）14（5分）
4、极坐标系（，）（02）中，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的极坐标是（几何证明选讲选做题）15如图，AB是圆O的直径，且AB=6，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5，则COD=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（x）sin（+x）cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，0，f（+）=，求sin（2）的值17（12分）某校2014-2015学年高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如
5、表优秀非优秀总计课改班50非课改班20110合计210（1）请完成上面的22列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；（2）若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取4人，则数学成绩优秀和数学成绩非优秀抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求两人数学成绩都优秀的概率18（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PD底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EFPB（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：ACDF；（3）求三棱锥BADF的体积19（14分）已知数列an满足：a1=，3an+12an=1（nN*）
6、；数列bn满足：bn=an+1an（nN*）（1）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（2）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列20（14分）已知直线l：y=x+2与双曲线C：=1（a0，b0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（1）求双曲线C的离心率；（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|DF|=17，试判断ABD是否为直角三角形，并说明理由21（14分）已知函数f（x）=x33x（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）m在，3上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）=exex+4n22n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1
7、，x2，2，都有f（x1）h（x2）恒成立，求实数n的取值范围广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=1，0，1，B=1，2，则AB=（）A1B0，1C1，0，2D1，0，1，2考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：A=1，0，1，B=1，2，AB=1，0，1，2，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）设i为虚数单位，则复数z=i（1i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D
8、第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数对应点的坐标得答案解答：解：由z=i（1i）=1+i，得复数z=i（1i）对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），则2=（）A（3，7）B（3，9）C（5，7）D（5，9）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的坐标运算求解即可解答：解：向量=（2，4），=（1，1），则2=2（2，4）（1，1）=（5，7）故选：C点评：本
9、题考查向量的坐标运算，考查计算能力4（5分）设f（x）=2x+x4，则函数f（x）的零点位于区间（）A（2，3）B（1，2）C（0，1）D（1，0）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由函数零点的判定定理的条件检验是否满足，从而解得解答：解：f（x）=2x+x4在定义域R上连续，且f（1）=2+140，f（2）=4+24=20，故函数f（x）的零点位于区间（1，2）上，故选：B点评：本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题5（5分）在ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则BAC=（）ABCD考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosBAC，
10、将三边长代入计算求出cosBAC的值，即可确定出BAC的度数解答：解：在ABC中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，由余弦定理得：cosBAC=，BAC为ABC的内角，BAC=故选：C点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（5分）执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A12B10C8D6考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=208时，不满足条件S100，退出循环，输出P的值为10解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S100，S=4，k=2满足条件S100，S=16，k=3满足条件
11、S100，S=48，k=4满足条件S100，S=208，k=5不满足条件S100，退出循环，得P=10，输出P的值为10故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，如图所示；该几何体的体积是V几何体=13121=故选：A点评：本题考查了利用
12、空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目8（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）ABCD考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项解答：解：由8a2+a5=0，得到=q3=8，故选项A正确；解得：q=2，则=q=2，故选项C正确；则=，故选项B正确；而=，所以数值不能确定的是选项D故选D点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题9（5分）过抛物线
13、y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A若|AF|=3，则点A的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（1，2）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，F（1，0）设A（x，y），|AF|=3，根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，x=2，y=，A的坐标为（2，）故选：C，点评：抛物线的定义告诉我们：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离10（5分）对于非空集合A，B，定义运算：AB=x|xAB，且xAB，已知M=x|
14、axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则MN=（）A（a，d）（b，c）B（c，ab，d）C（c，a）（d，b）D（a，cd，b）考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：新定义；函数的性质及应用分析：本题可先由知M=x|axb，N=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，得到a，b，0，c，d的大小关系，再由新定义MN的意义即可求出解答：解：由已知M=x|axb，ab，又ab0，a0b，同理可得c0d，由abcd0，c0，b0，又a+b=c+d，ac=db，又c0，b0，db0，因此，ac0，ac0db，MN=N，MN=x|axc，或d
15、xb=（a，cd，b）故选D点评：本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换，充分理解以上概念及运算法则是解决问题的关键二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（1113题）11（5分）如图是某2015届高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为94.5考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据中位数的概念和茎叶图中的数据，即可得到数据中的中位数解答：解：从茎叶图中可知14个数据排序为： 79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114，所以中位数为94
16、与95的平均数94.5故答案为：94.5点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数的求法，要注意在求中位数的过程中，要把数据从小到大排好，才能确定中位数，同时要注意数据的个数12（5分）函数y=ln（x2）+的定义域（2，3考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数y的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可解答：解：函数y=ln（x2）+，解得2x3；函数y的定义域是（2，3故答案为：（2，3点评：本题考查了利用函数的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目13（5分）已知为不等式组所表示的平面区域，E为圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）及其内部所表示
17、的平面区域，若“点（x，y）”是“点（x，y）E”的充分条件，则区域E的面积的最小值为考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域 专题：常规题型；数形结合法分析：由线性约束条件画出可行域，求出可行域内两点间的最大距离，以最大距离为直径求出圆的面积即为圆的最小面积解答：解：根据约束条件画出可行域“点（x，y）”是“点（x，y）E”的充分条件阴影部分应在圆内或在圆上，则r，则圆的面积最小值为：=故答案为：点评：本题考查了线性规划的相关知识，区域内两点间的最大距离的求法，及圆的面积公式；综合性较强，同时也是对线性规划问题考查方式的创新（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一
18、题（坐标系与参数方程选做题）14（5分）极坐标系（，）（02）中，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的极坐标是（，）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：求出点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的直角坐标，再把它化为极坐标解答：解：直线2sin=1即y=，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的直角坐标为（1，1），故对称点的极坐标为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，求一个点关于直线的对称点，属于基础题（几何证明选讲选做题）15如图，AB是圆O的直径，且AB=6，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5，则COD
19、=60考点：弦切角 专题：立体几何分析：直接利用圆的割线定理求出弦CD的长，利用AB的长确定三角形OCD为正三角形，进一步求出结果解答：解：AB是圆O的直径，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，利用割线定理得：PAPB=PDPC，由于：AB=6，PA=4，PD=5，所以：PA（PA+AB）=PD（PD+CD），解得：CD=3，所以：OCD为正三角形，则：COD=60故答案为：60点评：本题考查的知识要点：割线定理的应用，正三角形的性质，主要考查学生的应用能力三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（x）sin（+x
20、）cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，0，f（+）=，求sin（2）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期（2）利用函数的关系式和函数的值，进一步求出，最后求出结果解答：解：（1）函数f（x）=sin（x）sin（+x）cos2x=，所以函数f（x）的最小正周期（6分）（2）由（1）得=，（7分）由，解得：，由于，0，解得：，（8分）所以：，所以：sin（2）=（12分）点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等
21、变换，正弦型函数的周期的应用，利用函数的关系式求函数的值，主要考查学生的应用能力17（12分）某校2014-2015学年高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表优秀非优秀总计课改班50非课改班20110合计210（1）请完成上面的22列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；（2）若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取4人，则数学成绩优秀和数学成绩非优秀抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求两人数学成绩都优秀的概率考点：独立性检验的应用；列举法计算
22、基本事件数及事件发生的概率 专题：计算题；概率与统计分析：（1）确定22列联表，计算K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）确定比例，即可求出数学成绩优秀和数学成绩非优秀抽取的人数；（3）利用列举法确定基本事件，即可求两人数学成绩都优秀的概率解答：解：（1）优秀非优秀总计课改班5050100非课改班2090110合计70140210（2分）K2=23.866.635，（5分）所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关（6分）（2）数学成绩优秀抽取的人数=2（人），（7分）数学成绩非优秀抽取的人数=2（人）（8分）（3）由（2）知，数学成绩优秀抽取的人数为2人，设为A1、A2；数学成绩非
23、优秀抽取的人数为2人，设为B1、B2；则所有基本事件有：（A1、A2），（A1、B1），（A1、B2），（A2、B1），（A2、B2），（B1、B2）共6种（10分）其中满足条件的基本事件有：（A1、A2）共1种，（11分）所以两人数学成绩都优秀的概率P=（12分）点评：本题考查独立性检验的运用，考查分层抽样，考查概率的计算，考查学生的计算能力，比较基础18（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PD底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EFPB（1）证明：PA平面EDB；（2）证明：ACDF；（3）求三棱锥BADF的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空
24、间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连接AC交BD于点G，连接EG由四边形ABCD是正方形，可得点G是AC的中点，利用三角形中位线定理可得EGPA再利用线面平行的判定定理即可证明（2）由四边形ABCD是正方形，可得ACBD再利用PD底面ABCD，可得：AC平面PBD即可证明（3）过点F作FHPD，交BD于H可得FH底面ABCD再利用VBADF=VFABD=，即可得出解答：（1）证明：连接AC交BD于点G，连接EG四边形ABCD是正方形，点G是AC的中点，又E为PC的中点，因此EGPA而EG平面EDB，PA平面EDB（2）证明：四边形ABCD是
25、正方形，ACBDPD底面ABCD，AC底面ABCD，ACPD而PDBD=D，AC平面PBD又DF平面PBD，ACDF（3）解：过点F作FHPD，交BD于HPD底面ABCD，FHPD，FH底面ABCD由题意，可得PB=，PC=，PE=由RtPFERtPCB，得，PF=由RtBFHRtBPD，得，FH=VBADF=VFABD=，三棱锥BADF的体积为点评：本题考查了三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定性质定理、正方形的性质、三角形相似、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知数列an满足：a1=，3an+12an=1（nN*）；数列bn满足：bn=an+1
26、an（nN*）（1）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（2）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列考点：等差关系的确定；数列的求和；数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件得到数列an1是以为首项，为公比的等比数列由此得到数列an的通项公式，然后利用前n项和的定义进行求和；（2）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn为等差数列，于是有brbsbt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾解答：解：（1）由3an+12an=1，得an+11=（
27、an1）因为a1=，所以a11=，因此数列an1是以为首项，为公比的等比数列所以an1=，即an=1（nN*）所以Sn=a1+a2+an=n1+，=n=+n（nN*）（2）由（1），得bn=an+1an=11=下面用反证法证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列假设数列bn中存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有brbsbt，则只能有2bs=br+bt成立所以2=+，两边同乘3t121r，化简得22sr3ts=3tr+2tr因为rst，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中的任意三项不可能成等差数
28、列点评：本题主要考查了数列的递推式对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过递推式变形转换成等差或等比数列20（14分）已知直线l：y=x+2与双曲线C：=1（a0，b0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（1）求双曲线C的离心率；（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|DF|=17，试判断ABD是否为直角三角形，并说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）直线y=x+2和双曲线联立方程，利用中点公式，求出双曲线离心率（2）利用（1）问关系列出|BF|、|DF|的关系式，进而解出a的值，然后利用圆的直径所对的圆
29、周角为直角得出结论解答：解：（）由题设知，l的方程为：y=x+2，化入C的方程，并化简，得（b2a2）x24a2x4a2a2b2=0，设B（x1，y1）、D（x2，y2），则，由M（1，3）为BD的中点知，故，即b2=3a2，故，所以C的离心率（）由、知，C的方程为：3x2y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=，故不妨设x1a，x2a，=a2x1，=2x2a，|BF|FD|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8，又|BF|FD|=17，故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），故|BD|=，连结MA，则由A（1
30、，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切所以过A、B、D三点的圆与x轴相切ABD为直角三角形点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解和直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，2015届高考中历年常考属2015届高考压轴大题21（14分）已知函数f（x）=x33x（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）m在，3上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）=exex+4n22n（e为自然对数的底数），如果对任意的x1，x2，2，都有f（x1）h（x2）恒成立，求实数n的取值范
31、围考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）直接求导数，然后解不等式可得原函数的增减区间；（2）利用数形结合，将问题转化为函数y=f（x）与y=m的交点问题，只需利用导数研究函数y=f（x）的极值、最值即可；（3）因为h（x）与f（x）是两个不同的函数，所以该不等式恒成立只需f（x）maxh（x）min即可解答：解：（1）f（x）的定义域为R，f（x）=3x23=3（x+1）（x1）因为当x1或x1时，f（x）0；当1x1时，f（x）0；所以f（x）的单调递增区间为（，1）和（1，+），单调递减区间为（1，1）（2）要使函数g（x）=
32、f（x）m在，3上有三个零点，就是要方程f（x）m=0在，3上有三个实根，也就是只要函数y=f（x）和函数y=m的图象在，3上有三个不同的交点由（1）知，f（x）在（，1）和（1，+）上单调递增，在（1，1）上单调递减；所以f（x）在x=1处取得极大值f（1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=2又f（）=，f（3）=18故实数m的取值范围为（3）对任意的，都有f（x1）h（x2）恒成立，等价于当时，f（x）maxh（x）min成立由（1）知，f（x）在，1上单调递减，在1，2上单调递增，且，f（2）=2，所以f（x）在，2上的最大值f（x）max=2又h（x）=exe，令h（x）=0，得x=1因为当x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0；所以h（x）在，1上单调递减，在1，2上单调递增；故h（x）在，2上的最小值h（x）min=h（1）=4n22n所以4n22n2，解得或n1，故实数n的取值范围是（，1，+）点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值和最值的方法，不等式恒成立问题的解题思路，属于常规题目
