1、第6讲对数与对数函数1对数概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，aN(a0且a1)运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质a10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.反函数指数函数yax与对数函数yl
2、ogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论1换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad.2对数函数图象的特点(1)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限(2)函数ylogax与ylogx(a0且a1)的图象关于x轴对称(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大常见误区1在运算性质logaMnnlogaM中，要特别注意M0的条件，当nN*，且n为偶数时，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|.2研究对数函数问题应注意函
3、数的定义域3解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a1及0a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数ylogax2与函数y2logax是相等函数()(4)若MN0，则logaMlogaN.()(5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)诊断自测1log29log34()ABC2 D4解析：选D原式log232log3224log23log3244.2函数ylog2(x1)的图象大致是()解析：选C函数ylog2(x1)的图
4、象是把函数ylog2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(1，)，且在(1，)上是增函数，故选C3函数f(x)的定义域为_解析：由f(x)，得得x(1，0)(0，2答案：(1，0)(0，24函数ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a_解析：分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210，所以m.答案：4计算：(1)100；(2).解：(1)原式(lg 22lg 52)100lg 10lg 1021021020.(2)原式1.
5、提醒对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的错误 对数函数的图象及应用(师生共研) (1)若函数ya|x|(a0且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_【解析】(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则yloga|x|在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出
6、两个函数在上的图象，可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.【答案】(1)B(2)对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 1已知函数yaxb的图象如图所示，则函数f(x)loga(xb)的图象是()解析：选D由题意知0a1，1b0，所以x1.答案：(1，)对数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较对数值的大小 (2020高考全国卷)设alog32，blog53，c，
7、则()Aacb BabcCbca Dcab【解析】因为2332，所以23，所以log32log33，所以a52，所以35，所以log53log55，所以bc，所以acb，故选A【答案】A比较对数值的大小的方法 角度二解对数不等式、方程 (1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为_(2)设函数f(x)若f(a)1，所以x.(2)由f(a)f(a)得或即或解得0a1或alogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式 角度三对数型函数的综合问题 已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0，2时，函数f(x
8、)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由【解】(1)因为a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立所以32a0.所以a0且a1，所以a(0，1).(2)t(x)3ax，因为a0，所以函数t(x)为减函数因为f(x)在区间1，2上为减函数，所以ylogat为增函数，所以a1，当x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，所以即故不存
9、在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用 1已知函数f(x)log2(12x)，则函数f(x)的值域是()A0，2) B(0，)C(0，2) D0，)解析：选Bf(x)log2(12x)，因为12x1，所以log2(12x)0，所以函数f(x)的值域是(0，)，故选B2已知函数f(x)log
10、a|x|在(0，)上单调递增，则f(2)_f(a1)(填“”)解析：因为f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，所以a1，所以a12.因为f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)f(a1)答案：0，若函数f(x)log3(ax2x)在3，4上是增函数，则a的取值范围是_解析：要使f(x)log3(ax2x)在3，4上单调递增，则yax2x在3，4上单调递增，且yax2x0恒成立，即解得a.答案：思想方法系列4数形结合思想在对数函数问题中的应用 设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x21 D0x1x21【解析】作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D【答案】D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解 已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若函数g(x)有两个不同的零点，则()Aa2Ba2DaR解析：选B函数g(x)有两个不同的零点，即函数yf(x)与yxa的图象有两个不同的交点作出函数yf(x)与yxa的图象如图所示，因为x2x2(x0)，所以当a2，即a2时，yf(x)与yxa的图象有两个交点，所以选B
