1、第2课时直线与椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.点P(x0,y0)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的位置关系当x02a2+y02b21时,点P在椭圆外;当x02a2+y02b20;直线与椭圆相切=0;直线与椭圆相离b0)的通径长为2b2a.4.相交弦设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2,k为直线斜率且k0.5.中点弦(1)主要题型:求中点弦所在直线的方程;求弦中点的轨迹.(2)处理方法根与系数的关系法:将直线方程代入
2、圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.“点差法”:若斜率为k的直线l与圆锥曲线C有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),将A,B的坐标代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.以椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)为例,若弦AB的中点为P(x0,y0),直线AB的斜率为k,将点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入椭圆方程得b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0
3、,所以b2x0(x1-x2)=-a2y0(y1-y2),即b2x0=-ka2y0.注意:此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用判别式加以检验.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)通径是所有的焦点弦中最短的弦.()(2)斜率为k的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,且AB的中点为P(x0,y0),则有b2x0=-ka2y0.()(3)由直线方程与椭圆方程联立消元可得一元二次方程.若二次项系数恒为正,且方程的b0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为.5.(2020山西太原联考)已知椭圆的方程为x
4、2+2y2-4=0,则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程为.关键能力学案突破考点直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线l:y=2x+m,椭圆C:x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解题心得判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.对点训练1若直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1总有公共点,则m的取值范围是()A.(1,+)B.(0,+)C.(0,1)(1,5)D
5、.1,5)(5,+)考点弦长问题【例2】已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若点C,D和点Q-74,14共线,求k的值.解题心得1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长公式的常见形式有如下几种:|AB|=1+k2|x1-x2
6、|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2;|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2(k0).2.弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:若直线经过的定点在y轴上且斜率存在,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算;若直线经过的定点在x轴上且斜率不为0,一般设为my=x-a可以减小运算量.对点训练2如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.(1
7、)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=487,求直线AB的方程.考点中点弦、弦中点问题(多考向探究)考向1由中点弦确定直线方程或曲线方程【例3】已知椭圆x22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.解题心得处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时,常用“点差法”,步骤如下:对点训练3(1)过椭圆x264+y236=1上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,则PQ中点的轨迹方程为.(2)焦点为F(0,52),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为.考向2对称问题【例4】如图,已知椭圆x22+y2=
8、1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.解题心得求解椭圆中对称问题的常用方法(1)将对称两点所在的直线方程与椭圆方程联立,由0建立不等关系,再由对称两点的中点在所给直线上,建立相等关系,由相等关系消参,由不等关系确定范围.(2)用参数表示中点坐标,利用中点在椭圆内部建立关于参数的不等式,解不等式得参数范围.提醒解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意“若点A,B关于直线l对称,则l垂直于直线AB且AB的中点在直线l上”的应用.对点训练4已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A,B关于直
9、线y=mx+12对称.求实数m的取值范围.考点椭圆与向量的综合问题【例5】设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若ACDB+ADCB=8,O为坐标原点,求OCD的面积.解题心得解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系.(2)利用向量关系转化成相关的等量关系.(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系.对点训练5(2020湖南永州二模)已知动点M到两定点F1(-
10、m,0),F2(m,0)的距离之和为4(0mb0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的标准方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,所以kAB=y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2a2.又kAB=0+13-1=
11、12,所以b2a2=12.又a2-b2=c2=9,所以b2=9,a2=18.所以椭圆E的标准方程为x218+y29=1.解题心得本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A,过点A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点.(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.解(1)当直线AM
12、的斜率为1时,直线AM的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0,解得x1=-2,x2=-65.所以点M-65,45.(2)由题意可知直线AM,AN的斜率存在,且不为0.设直线AM的斜率为k(k0),直线AM的方程为y=k(x+2),直线AN的方程为y=-1k(x+2).由y=k(x+2),x24+y2=1,化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,则xA+xM=-16k21+4k2.又xA=-2,所以xM=-xA-16k21+4k2=2-16k21+4k2=2-8k21+4k2.同理,可得xN=2k2-8k2+4.当xM=xN时,2-8k21+4k2=2k
13、2-8k2+4,解得k=1.此时直线MN的方程为x=-65,直线MN过x轴上的点-65,0.当xMxN时,k1,因为点M2-8k21+4k2,4k1+4k2,N2k2-8k2+4,-4kk2+4,所以kMN=4k1+4k2+4kk2+42-8k21+4k2-2k2-8k2+4=5k4-4k2,所以直线MN的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2.令y=0,得x=-65.所以直线MN过x轴上的点-65,0.综上所述,直线MN过x轴上的定点-65,0.解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系
14、数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C的离心率为32,A,B,F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且SABF=1-32.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求OMN面积的最大值.解(1)由已知得椭圆C的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则点A(a,0),B(0,b),F(c,0),c=a2-b2.由已知得e2=c2a2=a2-b2a2=34,所以a2=
15、4b2,即a=2b,则c=3b.又SABF=12|AF|OB|=12(a-c)b=1-32,所以12(2b-3b)b=1-32,解得b=1.所以a=2,c=3.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)圆O的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,得|m|1+k2=1,故m2=1+k2.由x24+y2=1,y=kx+m消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.由题意可知k0,所以=16(4k2-m2+1)=48k20.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,所以|x1
16、-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=-8km4k2+12-44m2-44k2+1=16(4k2-m2+1)(4k2+1)2=48k2(4k2+1)2,所以|x1-x2|=43|k|4k2+1.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k243|k|4k2+1=43k2(k2+1)4k2+1.所以OMN的面积S=12|MN|1=23k2(k2+1)4k2+1.令t=4k2+1,则t1,k2=t-14,所以S=23t-14t-14+1t2=32(t-1)(t+3)t2=32t2+2t-3t2=32-3t2+2t+1=32-1t-132+49.当t=3,即4k2+1=3,即k=22时,S取得最大
17、值,最大值为3249=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.第2课时直线与椭圆必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)2.B由y=x+2,x2m+y23=1,得(m+3)x2+4mx+m=0.由0,且m3及m0,得m1且m3.3.C设直线l的方程为y=x+t,代入x24+y2=1,消去y得54x2+2tx+t2-1=0.由题意知=(2t)2-5(t2-1)0,即t20,故b=32,所以y=-12x+32,即x+2y-3=0.关键能力学案突破例1解将直线l的方程与
18、椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,x24+y22=1,消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.则=(8m)2-49(2m2-4)=-8m2+144.(1)当0,即-32m32时,方程有两个不同的实数根,则直线l与椭圆C有两个公共点.(2)当=0,即m=32时,方程有两个相同的实数根,则直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当0,即m32时,方程没有实数根,则直线l与椭圆C没有公共点.对点训练1D(方法1)由于直线y=kx+1恒过点(0,1),所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上,则00且m5,所以m1且m5.例2解(1)由题意,得2c=22,所以c=2.又e=ca=63,所以a=3,所
19、以b2=a2-c2=1,所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=x+m.由y=x+m,x23+y2=1消去y,得4x2+6mx+3m2-3=0,则=36m2-44(3m2-3)=48-12m20,即m24.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=64-m22,易得当m2=0时,|AB|max=6,故|AB|的最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则x12+3y12=3,x22+3y22=3.又P
20、(-2,0),所以可设k1=kPA=y1x1+2,直线PA的方程为y=k1(x+2).由y=k1(x+2),x23+y2=1消去y,得(1+3k12)x2+12k12x+12k12-3=0,则x1+x3=-12k121+3k12,即x3=-12k121+3k12-x1.又k1=y1x1+2,代入上式可得x3=-7x1-124x1+7,所以y3=y14x1+7,所以点C-7x1-124x1+7,y14x1+7.同理可得点D-7x2-124x2+7,y24x2+7.故QC=x3+74,y3-14,QD=x4+74,y4-14.因为Q,C,D三点共线,所以x3+74y4-14-x4+74y3-14=
21、0.将点C,D的坐标代入化简可得y1-y2x1-x2=1,即k=1.对点训练2解(1)由题意知e=ca=12,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=3.所以椭圆的方程为x24+y23=1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=4+3=7,不满足条件.当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),点A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-1k(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k23+4k2,x1x
22、2=4k2-123+4k2,所以|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=12(k2+1)3+4k2.同理|CD|=121k2+13+4k2=12(k2+1)3k2+4.所以|AB|+|CD|=12(k2+1)3+4k2+12(k2+1)3k2+4=84(k2+1)2(3+4k2)(3k2+4)=487,解得k=1.所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.例3解设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则有x122+y12=1,x222+y22=1,两式作差,得(x2-x1)(x2+x1)2+(y2-y1)(y2+y1)
23、=0,因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1x2-x1=kAB,所以kAB=-x02y0.(1)设弦中点为M(x,y),由式,2=-x2y,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43xb0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,且x1+x22=27,y1+y22=-37.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得y12a2+x12b2=1,y22a2+x22b2=1.两式相减并化简,得a2b2=-y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-2-6747=3,所以a2=3b2,又c2=a2-b2
24、=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为y275+x225=1.例4解设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),代入x22+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.因为直线AB过椭圆的左焦点F,所以直线AB与椭圆必有两个交点,设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),则x1+x2=-4k22k2+1,x0=12(x1+x2)=-2k22k2+1,y0=k(x0+1)=k2k2+1,所以AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1k(x-x0).令y=0,得xG=x0+ky0=-2k22k2+1+k22k2+1=-k22k2+1=
25、-12+14k2+2.因为k0,所以-12xG0.将线段AB中点M2mbm2+2,m2bm2+2代入直线方程y=mx+12,解得b=-m2+22m2.由得m的取值范围是-,-6363,+.例5解(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为433,所以2b2a=433.因为椭圆的离心率为33,所以ca=33.又a2=b2+c2,解得b=2,c=1,a=3.所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)由(1)可知F(-1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1).联立y=k(x+1),x23+y22=1,得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.设点C(x1,y1),D(x2,y2)
26、,所以x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.又点A(-3,0),B(3,0),所以ACDB+ADCB=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.从而x1+x2=-622+32=-32,x1x2=32-62+32=0.所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=-322-40=32,所以|CD|=1+k2|x1-x2|=1+232=332.而原点O到直线CD的距离为d=|k|1+k2=21+2=63,所以OCD的面积为S=12|CD|d=1233263=324.对点训练5解(1)由0m2,得2m0,得k214.x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,则OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+2=6-4k21+4k2=2得k2=1314,所以k的值为33.
