1、微课2导数综合问题的解题策略策略诠释1主要类型：(1)不等式的恒成立问题(2)证明不等式问题(3)方程的求解问题2解题思路：常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等3注意事项：(1)题目中含有参数时要注意分类讨论(2)证明不等式时要准确构造函数【典例】(12分)(2014山东威海模拟)已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数解审题：分析信息，形成
2、思路(1)切入点：求f(x)的最大值，根据求单调区间与最值的步骤求解；关注点：a1时对具体函数求解(2)切入点：求a的值，可依据f(x)的最大值为3求解；关注点：x(0，e，所以，)，按a的取值讨论(3)切入点：|f(x)|是否有实数解，可依据等式左右两边的取值求解；关注点：a1，可由(1)求左边的范围解题：规范步骤，水到渠成【解】(1)当a1时，f(x)xln x，因此f(x)1.当0x0；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)的最大值为f(1)1.2分(2)因为f(x)a，x(0，e，所以，)若a，则f(x)0恒成立，f(x)在(0，e
3、上单调递增，所以f(x)maxf(e)ae10，不合题意.4分若a0得：a0，即0x.由f(x)0：得a0，即xe.从而f(x)在上单调递增，在上单调递减所以f(x)maxf1ln.6分令1ln3，则ln2，所以e2，即ae2.因为e2，所以ae2即为所求.7分(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，所以|f(x)|1.8分又令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得xe，当0x0，得g(x)在(0，e)上单调递增，当xe时，g(x)0，得g(x)在(e，)上单调递减；所以g(x)maxg(e)1，即g(x)g(x)，即|f(x)|，所以方程|f(x)|没有实数解.12分变题(201
4、4山东潍坊一模)已知函数f(x)x3x.(1)求函数yf(x)的零点的个数；(2)令g(x)ln x，若函数yg(x)在(0，)内有极值，求实数a的取值范围；(3)在(2)的条件下，对任意t(1，)，s(0,1)，求证：g(t)g(s)e2.【解】f(0)0，x0为yf(x)的一个零点当x0时，f(x)x(x21)，设(x)x21.(x)2x0，(x)在(0，)上单调递增又(1)10，故(x)在(1,2)内有唯一零点因此yf(x)在0，)上有2个零点(2)g(x)ln xln xlnx，定义域是(0,1)(1，)则g(x)，设h(x)x2(2a)x1，要使函数yg(x)在(0，)内有极值，则h(x)0有两个不同的根x1，x2，(2a)240，得a0或a4，且一根在(0，)内，不妨设0x1，又x1x21，0x1ex2，由于h(0)1，则只需h()0，即(2a)1e2.(3)由(2)可知，当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)单调递增故yg(x)在(1，)内的最小值为g(x2)，即当t(1，)时，g(t)g(x2)，又当x(0，x1)时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x(x1,1)时，g(x)e)，设k(x)ln x2x2ln xx(xe)，k(x)10，k(x)在(e，)上单调递增，故k(x)k(e)2e，即g(t)g(s)e2.
