1、2.9数学建模函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(3)反比例函数模型:f(x)=kx(k为常数,k0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0);(7)分段函数模型:y=f1(x),xD1,f2(x),xD2,f3(x),xD3;(8)对勾函数
2、模型:y=x+ax(a为常数,a0).2.指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxx0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-,-a和a,+)内单调递增,在-a,0和(0,a上单调递减.(2)当x0时,x=a时取最小值2a,当x1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度.()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题
3、.()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,恒有h(x)f(x)g(x).()(5)不存在x0,使ax0x00,ba0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.口服药物后小时血液中药物浓度最高;这种药物服药n(nN*)小时后血液中药物浓度如下表,n12345678f(n)0.954 50.930 40.693 20.468 00.301 00.189 20.116 30.072一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是.(时间以整点为准)解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数
4、的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是1,空气的温度是0,经过t分钟后物体的温度可由公式=0+(1-0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 的物体,放在20 的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ,则k约等于(参考数据:ln 31.099)()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=
5、10lgII0(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的倍.考点构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1二次函数模型【例3】(2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解题
6、心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1t100,tN).前40天价格为f(t)=14t+22(1t40,tN),后60天价格为f(t)=-12t+52(41t100,tN),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.考向2分段函数模型【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于3
7、0人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入
8、16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=400-6x,040.(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.考向3指数型、对数型函数模型【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)(参数数据
9、:1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210,log1.0121.215.3)解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.对点训练5(1)(2020北京东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天
10、的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()A.10天B.15天C.19天D.2天(2)(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 20.301 0)()A.6年B.7年C.8年D.9年2.9数学建模函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理2.单调递增单调递增单调递增y轴x轴考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2
11、.B因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600千米.所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600100=8升,故选B.3.C依题意pH=-lg(2.510-2)=-lg2.5100=lg1002.5=lg40=lg(410)=lg4+lg10=2lg2+120.3010+1=1.602.故选C.4.D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.5.1 024依题意得
12、alog48+b=1,alog464+b=4,即32a+b=1,3a+b=4.解得a=2,b=-2.则y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8,解得x=1024.关键能力学案突破例1C由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图象最上端,最小是在图象最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数
13、量最大时在图象最右端,x(t)(25,30),y(t)(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)(25,80),由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.对点训练1由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k0,b0.5.第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.37300.5.综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.对点训练2(1)D(2)10(1)由题知,8
14、0的物体,放在20的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40,则40=20+(80-20)e-4k,从而e-4k=13,则-4k=ln13=-ln3,得k=14ln31.00940.3.故选D.(2)依题意,可知70=10lgI1I0,60=10lgI2I0,所以70-60=10lgI1I0-10lgI2I0,则1=lgI1I2,所以I1I2=10.例3解(1)设投资额为x(x0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2x.由已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k2,所以f(x)=18x(x0),g(x)=12x(x0).(2)设投资股票类产品为x(0x2
15、0)万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=20-x8+12x=-x+4x+208=-(x-2)2+248(0x20).所以当x=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.对点训练3解由题意知,S(t)=g(t)f(t).S(t)=(-13t+1123)(14t+22),1t40,tN,(-12t+52)(-13t+1123),41t100,tN,当1t40,tN时,S(t)=-112(t-12)2+25003,则S(40)S(t)S(12),即768S(t)25003,当41t1
16、00,tN时,S(t)=16(t-108)2-83,则S(100)S(t)S(41),即8S(t)14912,综上,当t=12时,S(t)取最大值为25003;当t=100时S(t)取最小值为8.例4解(1)设旅行团人数为x人,由题意得0x75(xN*),飞机票价为y元,则y=900,0x30,900-10(x-30),30x75,即y=900,0x30,1200-10x,30x75.(2)设旅行社获利S元,则S=900x-15000,0x30,x(1200-10x)-15000,30x75,即S=900x-15000,0x30,-10(x-60)2+21000,30x75,因为S=900x-
17、15000在区间(0,30上单调递增,故当x=30时,S取最大值12000.又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,所以当x=60时,S在区间(30,75上取最大值21000.故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.对点训练4解(1)当040时,W=xR(x)-(16x+40)=-40000x-16x+7360.所以W=-6x2+384x-40,040.(2)当040时,W=-40000x-16x+7360,由于40000x+16x240000x16x=1600,当且仅当40000x=16x,即x=50时,取等号,所以W取最大值为5760.综合,当x=32时,W取最大值
18、为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100(1+1.2%)x(xN*).(2)10年后该城市人口总数为100(1
19、+1.2%)10112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x120,1.012x120100,所以xlog1.012120100=log1.0121.215.316(年).即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.对点训练5(1)C(2)B(1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a2x(xN*),根据题意,令a2x=12a220,解得x=19,故选C.(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10(1+50%)n40(1+20%)n,化简得54n4,取对数可得n2lg2lg5-2lg220.30101-30.30107.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
