1、专题强化 竖直上抛运动 追及和相遇问题学习目标1.知道竖直上抛运动是匀变速直线运动，会利用分段法或全程法求解竖直上抛的有关问题.2.会分析追及相遇问题，会根据两者速度关系和位移关系列方程解决追及相遇问题一、竖直上抛运动1竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动2运动性质先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后，又开始做自由落体运动，整个过程中加速度始终为g，全段为匀变速直线运动3运动规律通常取初速度v0的方向为正方向，则ag.(1)速度公式：vv0gt.(2)位移公式：hv0tgt2.(3)位移和速度的关系式：v2v022gh.
2、(4)上升的最大高度：H.(5)上升到最高点(即v0时)所需的时间：t.4运动的对称性(1)时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t上t下(2)速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反气球下挂一重物，以v010 m/s的速度匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地前瞬间的速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)答案7 s60 m/s解析解法一分段法绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降重物上升阶段，时间t11 s，由v022gh1知，h15 m重物下降阶段，下降距离Hh
3、1175 m180 m设下落时间为t2，则Hgt22，故t26 s重物落地总时间tt1t27 s，落地前瞬间的速度vgt260 m/s.解法二全程法取初速度方向为正方向重物全程位移hv0tgt2175 m可解得t7 s(t5 s舍去)由vv0gt，得v60 m/s，负号表示方向竖直向下竖直上抛运动的处理方法1分段法(1)上升过程：v00、ag的匀减速直线运动(2)下降过程：自由落体运动2全程法(1)整个过程：初速度v0向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律vv0gt，hv0tgt2.(2)正负号的含义(取竖直向上为正方向)v0表示物体上升，v0表示物体下降h0表示物体在抛出点上方，h
4、0表示物体在抛出点下方(2019天津益中学校高一月考)在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则：(g取10 m/s2)(1)物体抛出的初速度大小为多少？(2)物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为多少？(3)若塔高H60 m，求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小答案(1)20 m/s(2)10 m30 m50 m(3)6 s40 m/s解析(1)设初速度为v0，竖直向上为正，有2gh0v02，故v020 m/s.(2)位移大小为10 m，有三种可能：向上运动时x10 m，返回时在出发点上方10 m，返回时在出发点下方1
5、0 m，对应的路程分别为s110 m，s2(2010) m30 m，s3(4010) m50 m.(3)落到地面时的位移x60 m，设从抛出到落到地面用时为t，有xv0tgt2，解得t6 s(t2 s舍去)落地速度vv0gt(20106) m/s40 m/s，则落地速度大小为40 m/s.二、追及、相遇问题1分析追及问题的注意事项(1)要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件；两个关系是时间关系和位移关系通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动2解题基
6、本思路和方法(2019汉阳一中月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在他前面x013 m远处以v08 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t02.5 s，警车发动起来，以加速度a2 m/s2做匀加速直线运动，求：(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t；(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离xm.答案(1)11 s(2)49 m解析(1)警车开始运动时，货车在它前面xx0v0t013 m82.5 m33 m警车运动位移：x1at2货车运动位移：x2v0t警车要追上货车满足：x1x2x联立并代入数据解得：t11 s(t3 s舍去)(2)警车速度与货车速度相同时，
7、相距最远对警车有：v0atx1at2，x2v0t最远距离：xmx2x1x49 m.针对训练(2019宁夏育才中学高一上学期期末)汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则：(1)求汽车刹车时的加速度大小；(2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？答案(1)0.5 m/s2(2)不会相撞最近相距4 m解析(1)汽车制动加速度大小a0.5 m/s2(2)当汽车减速到与货车共速时t028 s汽车运动的位移x1364 m
8、此时间内货车运动的位移为x2vBt0168 mxx1x2196 m200 m，所以两车不会相撞此时两车相距最近，最近距离sx0x200 m196 m4 m.一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵如图1所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的vt图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是()图1A因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故B在t3 s时发生追尾事故C在t5 s时发生追尾事故D若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10 m答案B解析根据速
9、度时间图线与时间轴所围“面积”大小等于位移大小，由题图知，t3 s时大卡车的位移为：xbvbt103 m30 m小汽车的位移为：xa(3020)1 m(2015)2 m60 m则：xaxb30 m所以在t3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误；由vt图线可知在t5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移：x(2010)1 m104 m35 m40 m则不会发生追尾事故且两车最近时相距sx0x5 m，故D错误追及相遇问题常见情况1速度小者追速度大者类型图像说明匀加速追匀速a.tt0以前，后面物体与前面物体间距离增大；b.tt0时，两物体相距最远为x0x；c.tt0以后，后面物体与前面物体
10、间距离减小；d.能追上且只能相遇一次.注：x0为开始时两物体间的距离匀速追匀减速匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者类型图像说明匀减速追匀速开始追时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即tt0时刻：a.若xx0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；b.若xx0，则相遇两次，设t1时刻x1x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇.注：x0为开始时两物体间的距离匀速追匀加速匀减速追匀加速1(竖直上抛运动)(多选)某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2,5 s内物体的()A路程为65 mB位移大小为25 m，方向竖直向上
11、C速度改变量的大小为10 m/sD平均速度大小为13 m/s，方向竖直向上答案AB解析初速度为30 m/s，只需要t13 s即可上升到最高点，位移为h1gt1245 m，再自由下落2 s时间，下降高度为h2gt2220 m，故路程为sh1h265 m，A项对；此时离抛出点高xh1h225 m，位移方向竖直向上，B项对；5 s末时速度为v5v0gt20 m/s，速度改变量大小为v|v5v0|50 m/s，C项错；平均速度为5 m/s，方向竖直向上，D项错2(追及相遇问题)(2019龙岩市期末)甲、乙两车在平直的公路上同时同地沿同一方向做直线运动，它们的vt图像如图2所示，在020 s这段时间内，
12、下列说法正确的是()图2A在t10 s时两车相遇B在t10 s时两车相距最近C在t20 s时两车相遇D在t20 s时，乙车在甲车前面答案C解析010 s内甲车的速度比乙车的大，甲车在乙车的前方，两者间距增大；t10 s后乙的速度比甲的大，两者间距减小，所以t10 s时甲、乙两车相距最远，故A、B错误；根据vt图线与时间轴所围“面积”表示位移，可知t20 s时甲、乙的位移相等，两车相遇，故C正确，D错误3(竖直上抛与相遇综合问题)以初速度v020 m/s竖直向上抛出一小球，2 s后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球，问两小球在离抛出点多高处相遇(g取10 m/s2)()A10 m B15 m
13、 C20 m D5 m答案B解析先竖直向上抛出的小球到达最高点所用的时间为t s2 s，所以另一小球抛出时，它恰好在最高点将要做自由落体运动由竖直上抛运动的对称性可得，两小球再经过1 s后相遇故两小球相遇处离抛出点的高度为hv0tgt2201 m1012 m15 m.4(追及相遇问题)当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a2 m/s2 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：(1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？答案(1)10 s100 m(2)25 m解析(1)客车追上货车的
14、过程中，两车所用时间相等，位移也相等，设经过t1时间客车追上货车，则v2t1at12，代入数据解得t110 s，客车追上货车时离路口的距离xat122102 m100 m.(2)两车距离最远时，两车应具有相等的速度，设经过时间为t2，则v2at2，代入数据解得t25 s.最大距离xv2t2at22105 m252 m25 m.训练1竖直上抛运动1(2019莆田四中、莆田六中高一联考)某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高的横杆据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为()A2 m/s B4 m/s C6 m/s D8 m/s答案B解析由题可知，人的重心在跳
15、高时升高约0.9 m，因而初速度v04 m/s，故选B.2.(2019湛江市模拟)如图1所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边缘竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2，则3 s内小球运动的()图1A路程为25 mB位移为15 mC速度改变量为30 m/sD平均速度为5 m/s答案A解析由xv0tgt2得位移x15 m，B错误；平均速度5 m/s，D错误；小球竖直上抛，由vv0gt得速度的改变量vgt30 m/s，C错误；上升阶段通过路程x15 m，下降阶段通过的路程x2gt22，t2t2 s，解得x220 m，所以3 s内小球运动的路程为x1
16、x225 m，A正确3一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为()A.g(TA2TB2) B.g(TA2TB2)C.g(TA2TB2) D.g(TATB)答案A解析物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB，则A、B两点的距离xgtA2gtB2g(TA2TB2)4(多选)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔为2 s，它们运动的vt图像分别如图2中直线甲、乙所示则()图2
17、At2 s时，两球的高度差一定为40 mBt4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C两球从抛出至落到地面所用的时间相等D甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球的相等答案BD解析根据vt图像与时间轴所围面积表示位移，t2 s时，甲球的位移为40 m，乙球位移为0，但需注意题干两球从距地面不同高度处抛出，故高度差不一定等于位移差，A错误；t4 s时，对甲球位移为t轴上方面积减去下方面积，代表的位移为40 m，乙球位移也为40 m，B正确；由于初速度相同，两球从抛出到回到抛出点的运动情况一致，所以到达最高点的时间间隔和回到抛出点的时间相等，D正确；由于抛出点高度不同，回到抛出点之后的运动时间不同，
18、所以落到地面的时间间隔不同，C错误5(多选)某人在高层楼房的阳台上以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经历的时间可能是(不计空气阻力，g取10 m/s2)()A1 s B2 s C3 s D(2) s答案ACD解析取竖直向上为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x15 m，由xv0tgt2，解得t11 s，t23 s其中t11 s对应着石块上升过程中离抛出点15 m处时所用的时间，而t23 s对应着从最高点下落时离抛出点15 m处时所用的时间当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m处时，位移为x15 m，由xv0tgt2，解得t1(2)
19、 s，t2(2) s(舍去)6(2016江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是()答案A解析由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v与位置x的关系为v，从最高点下落时二者的关系为v，对比图像可知A项正确7(2019武威市第六中学月考)某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g10 m/s2，求：(1)燃料恰好用完时火箭的速度大
20、小；(2)火箭上升离地面的最大高度；(3)火箭从发射到返回发射点的时间答案(1)20 m/s(2)60 m(3)9.46 s解析(1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v，根据运动学公式有ht，解得v20 m/s.(2)火箭能够继续上升的时间t1 s2 s火箭能够继续上升的高度h1 m20 m因此火箭离地面的最大高度Hhh160 m.(3)火箭由最高点落至地面的时间t2 s2 s，火箭从发射到返回发射点的时间t总tt1t29.46 s.训练2追及和相遇问题1(多选)(2019遵义航天高中模拟)在某次遥控车漂移激情挑战赛中，若a、b两个遥控车从同一地点向同一方向做直线运动，它们的vt图像如图1所示，则
21、下列说法正确的是()图1Ab车启动时，a车在其前方2 m处B运动过程中，b车落后a车的最大距离为4 mCb车启动3 s后恰好追上a车Db车超过a车后，两车不会再相遇答案CD解析根据速度时间图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t2 s时启动，此时a的位移为x12 m1 m，即a车在b车前方1 m处，选项A错误；当两车的速度相等时，相距最远，最大距离为xmax1.5 m，选项B错误；由于两车从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时两车才相遇，由题图可知，b车启动3 s后(即t5 s)的位移xb22 m21 m4 m，xa12 m31 m4 m，故b车启动3 s后恰好追上a车，C正确；b车超
22、过a车后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，选项D正确2(多选)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶，t0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始它们在四次比赛中的vt图像如图所示，则下列图像对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是()答案AC解析选项A图中当t20 s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项A正确；选项B图中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项B错误；选项C图中，在t20 s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项C正确；选项D图中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所
23、围的“面积”，所以不可能追上，选项D错误3A、B两车沿同一直线同方向运动，A车的速度vA4 m/s，B车的速度vB10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时，B车刹车并以大小为a2 m/s2的加速度做匀减速运动，从该时刻开始计时，求：(1)A车追上B车之前，两车间的最大距离；(2)经多长时间A车追上B车答案(1)16 m(2)8 s解析(1)当B车速度等于A车速度时，两车间距最大设经时间t1两车速度相等，有：vBvBat1，vBvAB的位移：xBvBt1at12，A的位移：xAvAt1，则：xmxB7 mxA，解得：xm16 m.(2)设B车停止运动所需时间为t2，则t25 s，此时A的位移
24、xAvAt220 m，B的位移xBvBt2at2225 m，A、B间的距离xxBxA7 m12 m，A追上B还需时间t33 s，故A追上B的总时间tt2t38 s. 4(2019连云港市模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L111 m处，乙车速度v乙60 m/s，甲车速度v甲50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2600 m，如图2所示若甲车做匀加速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长图2(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？(2)到达终点时甲车能否超过乙车？答案(1)5 s36 m(2)不能解析(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，
25、即v甲at1v乙，得t1 s5 s；甲车位移x甲v甲t1at12275 m；乙车位移：x乙v乙t1605 m300 m，此时两车间距离xx乙L1x甲36 m.(2)甲车追上乙车时，位移关系为x甲x乙L1，甲车位移x甲v甲t2at22，乙车位移x乙v乙t2，将x甲、x乙代入位移关系，得v甲t2at22v乙t2L1，代入数据得，t211 s，实际乙车到达终点的时间为t310 s，所以到达终点时甲车不能超过乙车5(拓展提升)一只气球以10 m/s的速度匀速竖直上升，某时刻在气球正下方距气球6 m处有一小球以20 m/s的初速度竖直上抛，g取10 m/s2，不计小球受到的空气阻力(1)不考虑上方气球对小球运动的可能影响，求小球抛出后上升的最大高度和时间(2)小球能否追上气球？若追不上，说明理由；若能追上，需要多长时间？答案(1)20 m2 s(2)小球追不上气球，理由见解析解析(1)设小球上升的最大高度为h，时间为t，则h，解得h20 m，t，解得t2 s.(2)设小球达到与气球速度相同时经过的时间是t1，则v气v小v0gt1，解得t11 s在这段时间内气球上升的高度为x气，小球上升的高度为x小，则x气v气t110 mx小v0t1gt1215 m由于x气6 mx小，所以小球追不上气球
