1、平面向量与复数12015湖北卷 已知向量，|3，则_22015北京卷 在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_32015江苏卷 已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_42014新课标全国卷改编 设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_52015福建卷改编 已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于_62015全国卷改编 复数z满足i，则|z|_72014新课标全国卷改编 _82015安徽卷改编 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于第_象限温馨提示请自主阅读答案第2页中的【知识必备】或扫描下面的二维码来
2、温习知识考点一平面向量的概念及线性运算题型：选择、填空分值：5分难度：中等 热点：有平面几何背景的向量线性运算1 (1)2015全国卷 设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.(2)若ABC的外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为()A4 B.C. D1听课笔记 小结 (1)对向量按照减法法则进行分解时，对任意一点O，都有，即向量表示从向量的终点指向向量的终点的向量；(2)若P为AB的中点，对平面上任意一点O，有.式题 (1)在OAB中，已知OA5，OB3，点P是AB的垂直平分线l上的任意一点，则()A8 B4C4 D8 (2)如图21所示，在ABC中，E为AC上
3、一点，且3，若P为BE上一点，且满足mn(m，n0)，则当取得最小值时，向量a(m，n)的模为()图21A. B.C. D.考点二平面向量的数量积题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：数量积中求参数的值或者取值范围，向量垂直条件的应用2 (1)2015重庆卷 若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D(2)若平面向量a(1，2)与b的夹角是180，且|b|3 ，则b的坐标为()A(3，6) B(3，6)C(6，3) D(6，3)听课笔记 小结 求解平面向量的夹角，一般利用平面向量数量积的夹角公式cos ，同时还要注意夹角的取值范围是018
4、0.式题 (1)已知非零向量a，b的夹角为，|ab|，|ab|1，则的取值范围是()A0 B.C. D0(2)已知向量与的夹角为60，且|3，|2，若点P在直线BC上，且，则_ 高考易失分题1 向量线性运算求角求模综合题范例 在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy，且xy1，若函数f(m)|m|的最小值为，则|的最小值为_失分分析 本题失分之处有两个：一是不理解函数f(m)|m|的意义，从而不能求出ACB的大小；二是不能确定|的最小值，即不知道点O在何处时才能得到|的最小值高考预测 在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆1上，点P满足(1)(R)，且12，则线段OP在x轴上的投影长度的最
5、大值为()A3B4C3 D4 考点三复数的概念及运算题型：选择、填空分值：5分难度：中等 热点：复数代数形式的四则运算 3 (1)2015全国卷 若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0 C1 D2(2)如果复数(bR，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为()A0 B1 C2 D3听课笔记 小结 复数的核心考点是代数形式的四则运算，在除法运算中要先把分子分母同时乘分母的共轭复数，再转化为乘法运算复数的一般形式是zabi(a，bR)，在含有复数的方程中，只要设出复数的一般形式，再根据复数相等的充要条件，就能把问题转化为关于实数的方程组问题，即复数问题实数化解题时注意对任意
6、复数z，有zz|z|2|z|2.式题 (1)若复数z满足z(1i)1i(i是虚数单位)，则|1z|()A. B. C2 D3(2)已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限，且zz5，则a()A2 B2 C. D平面向量与复数 核心知识聚焦1.9解析 因为，|3，所以（）|2|29.2.解析 由条件得（）xy，所以x，y.3.3解析 因为manb（2mn，m2n）（9，8），所以解得故mn3.4.1解析 由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得4ab4，所以ab1.5.13解析 以点A为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则，（0
7、，t），（1，4），所以，（1，t4），所以4（t4）172 1713，当且仅当t时取等号.6.1解析 由题意知zi，所以|z|1.7.1i解析 1i.8.二解析 因为1i，所以在复平面内所对应的点为（1，1），位于第二象限. 考点考向探究考点一平面向量的概念及线性运算例1（1）A（2）C解析 （1）由题意知（）.（2）取BC的中点D，连接AD.由平面向量加法的几何意义得2.又由条件得，所以2，即4，所以A，O，D共线，所以OABC，所以|为在方向上的投影.因为|4，|3，所以|.变式题（1）A（2）D解析 （1）设AB的中点为M，则（）（）（）（22）（3252）8.（2）由题意知mnm4n
8、，因为B，P，E三点共线，所以m4n1，从而（m4n）1452 9，当且仅当m2n，即m，n时取等号，所以a（，），|a|.考点二平面向量的数量积例2（1）A（2）A解析 （1）由题知（ab）（3a2b）3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab3（b）22b2b2，所以cosa，b，所以a，b.（2）由题意设ba（，2）（0），又|b|3 ，所以3 ，所以3，b（3，6）.变式题（1）A（2）6解析 （1）由|ab|，|ab|1，得a22abb23，a22abb21.两式相减得ab，两式相加得a2b222|a|b|，即|a|b|1，当且仅当|a|b|时等号成立，所以cos
9、 ，又0，所以0.（2）以A为原点，的方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（1，）.设点P（x0，y0），由，求得x0y0.由，得解得所以6. 高考易失分题1 范例解析 作ADBC于点D，如图所示，在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，记m，则当点N与点D重合时，即ANBC时，f（m）取得最小值，因此|，又AC1，所以ACB120.因为xy，且xy1，所以O在边AB上，则当COAB时，|最小，且|min.高考预测A解析 由（1），得（1），即，则O，P，A三点共线.又12，可知与同向，所以|12.设OP与x轴正方向的夹角为，A点坐标为（x，y），点B为点A在x轴上
10、的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为|cos |121212123，当且仅当|x|4时等号成立，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为3.考点三复数的概念及运算例3（1）B（2）A解析 （1）因为（2ai）（a2i）4a（a24）i4i，所以4a0，且a244，解得a0.（2），依题意可得2b2b，解得b0.变式题（1）A（2）B解析 （1）由已知得zi，所以|1z|1i|.（2）由题设知z1ai，则zz（1ai）（1ai）1a25，解得a2.又z在复平面上对应的点在第四象限，所以a2. 教师备用例题例1（配例1使用）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（3，a），aR，点P满足，R，且|72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为.答案 24解析 点A的坐标为（3，a），则|3，由，得O，P，A三点共线，因为|72，所以|.设OP与x轴正方向的夹角为，则线段OP在x轴上的投影长度为|cos |24，所以线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.例2（配例2使用）已知A（1，cos ），B（sin ，1），若|（O是坐标原点），则锐角.答案 解析 由|，得0，所以sin cos 0，即tan 1.又因为是锐角，所以.例3（配例3使用）设z1i（i是虚数单位），则z2（）A.1i B.1iC.1i D.1i解析 C由z1i，得z2（1i）22i1i2i1i.
