1、2016-2017学年天津市静海一中高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：（每小题5分，共35分）1已知三角形的三边长分别为a、b、，则三角形的最大内角是（）A135B120C60D902在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，sinC=，则A等于（）ABCD3等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A15B30C31D644设等比数列an中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）ABCD5设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等
2、边三角形6已知函数f（n）=n2cos（n），且an=f（n），则a1+a2+a3+a100=（）A0B100C5050D102007在数列an中，前n项和为Sn，则当Sn最小时，n的值为（）A5B6C7D8二、填空题：（每空5分，共35分）8在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=90，则的值为 9在ABC中，若b2=ac，则cos（AC）+cosB+cos2B2的值是 10已知Sn为等比数列an的前n项和，公比q=2，S99=154，则a3+a6+a9+a99= 11在ABC中，已知A=45，B=75，点D在AB上，且CD=10若CDAB，则AB= 12设等差数列an，bn的
3、前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为 13设an是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（n=1，2，3，），则它的通项公式an= 14已知数列an（nN*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题：若an是等差数列，则三点、共线；若an是等差数列，且a1=11，a3+a7=6，则S1、S2、Sn这n个数中必然存在一个最大者；若an是等比数列，则Sm、S2mSm、S3mS2m（mN*）也是等比数列；若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q0），则an是等比数列；若等比数列an的公比是q（q是常数），且a1=1，则数列an2的前n项和sn=其中正确命
4、题的序号是 （将你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共4题，共65分）15在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值16已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR），且成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN*，试比较与的大小17设数列an的前n项和Sn满足（）求数列an的通项公式；（）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有nN*都成立的最小正整数m18在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+
5、b）sinC（）求A的大小；（）求sinB+sinC的最大值19成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列20已知数列an中，a1=2，an=2（n2，nN*）设bn=（nN*），求证：数列bn是等差数列21已知数列an中，a1=1，且满足，求数列an的通项公式第卷提高题（共15分）22已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，nN*数列bn满足，nN*，Tn为数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式an和数列bn的前n项和Tn；（2）若对任意的
6、nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由2016-2017学年天津市静海一中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共35分）1已知三角形的三边长分别为a、b、，则三角形的最大内角是（）A135B120C60D90【考点】HR：余弦定理【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是所对的角，设为，由余弦定理求得cos 的值，可得的值【解答】解：三角形的三边长分别为a、b、中，为最大边，则三角形的最大内角是所对的角，设为由余弦定理可得 cos
7、=，=120，故选B2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，sinC=，则A等于（）ABCD【考点】HP：正弦定理【分析】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可【解答】解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可得：cosA=，0A，A=故选：D3等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A15B30C31D64【考点】8F：等差数列的性质【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，或根据等差中项的定义，ap+aq
8、=am+an，从而求得a12的值【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，方法二：数列an是等差数列，ap+aq=am+an，即p+q=m+na7+a9=a4+a12a12=15故选：A4设等比数列an中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）ABCD【考点】89：等比数列的前n项和【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出
9、公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值【解答】解：a4+a5+a6=S6S3=78=1，a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，所以q3=，则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=故选B5设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【考点】8N：数列与三角函数的综合；GZ：三角形的形状判断【分析】先由ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得B=60，A+C=120；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B
10、=sinAsinC，结合即可判断这个三角形的形状【解答】解：ABC的三内角A、B、C成等差数列，B=60，A+C=120；又sinA、sinB、sinC成等比数列，sin2B=sinAsinC=，由得：sinAsin=sinA（sin120cosAcos120sinA）=sin2A+=sin2Acos2A+=sin（2A30）+=，sin（2A30）=1，又0A120A=60故选D6已知函数f（n）=n2cos（n），且an=f（n），则a1+a2+a3+a100=（）A0B100C5050D10200【考点】8E：数列的求和【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再
11、使用分组求和法，求解【解答】解：f（n）=n2cos（n）=（1）nn2，且an=f（n），a1+a2+a3+a100=2212+4232+6252+1002992=1+2+3+4+5+6+99+100=5050故选C7在数列an中，前n项和为Sn，则当Sn最小时，n的值为（）A5B6C7D8【考点】8E：数列的求和【分析】由数列前n项和的性质可知：3当n190，即n6，则an0，因此当n=6时，Sn最小【解答】解：令an0，即3n190，则n6，故当1n6时，an0；当n7时，an0，故当n=6时，Sn最小故选B二、填空题：（每空5分，共35分）8在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10
12、+a12=90，则的值为12【考点】8F：等差数列的性质【分析】等差数列an中，a4+a6+a8+a10+a12=90，可得5a8=90，解得a8可得=【解答】解：等差数列an中，a4+a6+a8+a10+a12=90，5a8=90，解得a8=18则=（3a1+27da113d）=12故答案为：129在ABC中，若b2=ac，则cos（AC）+cosB+cos2B2的值是1【考点】GP：两角和与差的余弦函数【分析】利用正弦定理化边的关系为角的关系，再由两角和与差的余弦及倍角公式化简求值【解答】解：由b2=ac，得sin2B=sinAsinC，cos（AC）+cosB+cos2B2=cosAco
13、sC+sinAsinC+cosB+12sin2B2=cosAcosC+sinAsinC+cosB12sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+cosB1=cos（A+C）+cosB1=1故答案为：110已知Sn为等比数列an的前n项和，公比q=2，S99=154，则a3+a6+a9+a99=88【考点】89：等比数列的前n项和【分析】公比q=2，S99=154，可得=154，可得=154又a3+a6+a9+a99=，代入即可得出【解答】解：公比q=2，S99=154， =154，可得=154则a3+a6+a9+a99=88，故答案为：8811在ABC中，已知A=45，B=75，点D在
14、AB上，且CD=10若CDAB，则AB=【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质即可得答案【解答】解：A=45，B=75，点D在AB上，且CD=10CDAB，可得：CD=AD=10，BCD=15cos15=sin75=，sin15=，tan15=2BD=10tanBCD=2010AB=AD+DB=故答案为：12设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为【考点】8F：等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=+=故答案为：13设an是首项为3的正项数
15、列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（n=1，2，3，），则它的通项公式an=【考点】8H：数列递推式【分析】an是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（n=1，2，3，），可得（n+1）an+1nan（an+1+an）=0，an0，因此（n+1）an+1nan=0，即可得出【解答】解：an是首项为3的正项数列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（n=1，2，3，），（n+1）an+1nan（an+1+an）=0，an+1+an0，（n+1）an+1nan=0，（n+1）an+1=nan=1a1=3，解得an=故答案为：14已知数列
16、an（nN*），其前n项和为Sn，给出下列四个命题：若an是等差数列，则三点、共线；若an是等差数列，且a1=11，a3+a7=6，则S1、S2、Sn这n个数中必然存在一个最大者；若an是等比数列，则Sm、S2mSm、S3mS2m（mN*）也是等比数列；若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q0），则an是等比数列；若等比数列an的公比是q（q是常数），且a1=1，则数列an2的前n项和sn=其中正确命题的序号是（将你认为正确命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】写出等差数列的前n项和后变形得到，由此得到命题正确；由题意求出等差数列的公差小于0说明S1、S2、Sn这n个数
17、中必有一个最小值得到错；举特例说明错；由数列递推式可得an是等比数列；举特殊数列说明错【解答】解：对于，由等差数列前n项和公式，知，即数列为等差数列，则已知三点都在一次函数得图象上，故对；对于，由a3+a7=6得2a1+8d=6，又a1=110，d=20，故S1、S2、Sn这n个数中必有一个最小值，故错；对于，当a1+a2+am0时是等比数列，当a1+a2+am=0时，命题不成立故错；对于由Sn+1=a1+qSn得Sn=a1+qSn1，两式相减得an+1=qan，故对；对于，若等比数列an的是常数数列，又a1=1，则数列是公比为1，首项为a1=1的等比数列，则1q2=0，故错故答案为：三、解答
18、题（本大题共4题，共65分）15在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由cos2A3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA1）（cosA+2）=0，解得（舍去）因为0A，所以（
19、）由S=，得到bc=20又b=5，解得c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得16已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR），且成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN*，试比较与的大小【考点】8K：数列与不等式的综合；8M：等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由题意可知，可得d=a1=a即通项公式an=na（2）记Tn=Tn=（+）= 1（）n，当a0时，Tn；当a0时，Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意可知，即（a1+d）2=a1（a1+3d），从而a1d=d2，因为d0，所以
20、d=a1=a故通项公式an=na（2）记Tn=因为a2n=2na，所以Tn=（+）= 1（）n从而，当a0时，Tn；当a0时，Tn17设数列an的前n项和Sn满足（）求数列an的通项公式；（）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有nN*都成立的最小正整数m【考点】8E：数列的求和【分析】（）由已知条件推导出Sn=3n22n，由此利用能求出数列an的通项公式（）由an=6n5，推导出=（），由此利用裂项求出和法求出Tn=（1），再由0，能求出使得对所有nN*都成立的最小正整数m【解答】解：（）数列an的前n项和Sn满足，Sn=3n22n，a1=S1=32=1，当n2时，an=SnSn1=（3
21、n22n）3（n1）22（n1）=6n5，当n=1时，6n5=1=a1，an=6n5（）an=6n5，=（），Tn=（1+）=（1），nN*，0，Tn=（1），又Tn对所有nN*都成立，解得m10使得对所有nN*都成立的最小正整数m为1018在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（）求A的大小；（）求sinB+sinC的最大值【考点】HS：余弦定理的应用【分析】（）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出
22、cosA的值，进而求出A的值（）根据（）中A的值，可知c=60B，化简得sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值【解答】解：（）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c22bccosA故cosA=，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60B）=cosB+sinB=sin（60+B）故当B=30时，sinB+sinC取得最大值119成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加
23、上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn+是等比数列【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d，则ad+a+a+d=15，解得a=5根据这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5可得（5+5）2=（5d+2）（5+d+13），解得：d=2可得b1与公比ql利用求和公式可得Sn，即可证明【解答】证明：设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d，则ad+a+a+d=15，解得a=5这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5（5+5）2=（5d+2
24、）（5+d+13），解得：d=13（舍去），或2d=2时，b3=5，b4=10，b5=20可得公比q=2=5，解得b1=Sn=52n2，Sn+=52n2，数列Sn+是等比数列，公比为2，首项为20已知数列an中，a1=2，an=2（n2，nN*）设bn=（nN*），求证：数列bn是等差数列【考点】8H：数列递推式【分析】利用已知递推关系，作差bn+1bn，证明为常数即可【解答】证明：a1=2，an=2（n2，nN*），bn=（nN*），bn+1bn=1，b1=1，数列bn是等差数列，首项为1，公差为121已知数列an中，a1=1，且满足，求数列an的通项公式【考点】8H：数列递推式【分析】根据
25、数列递推式，变形可得数列an+1是以2为首项，以3为公比的等比数列，由此可得结论【解答】解：由题意an+1=3an+2可以得到an+1+1=3an+2+1=3（an+1）所以=3，所以数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列则有an+1=23n1，an=23n11所以数列an的通项公式an=23n11第卷提高题（共15分）22已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，nN*数列bn满足，nN*，Tn为数列bn的前n项和（1）求数列an的通项公式an和数列bn的前n项和Tn；（2）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整
26、数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由【考点】8K：数列与不等式的综合；8D：等比关系的确定；8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合【分析】（1）由，nN*分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列an的通项公式，由，nN*，可由裂项相消法得到数列bn的前n项和Tn；（2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案（3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1mn及m，n均为整数，可得答案【解答】解：（1）在
27、an2=S2n1中，令n=1，n=2，得，即 解得a1=1，d=2，an=2n1=（），Tn=（1+）=（2）当n为偶数时，要使不等式Tnn+8（1）n恒成立，即需不等式=2n+17恒成立2n+8，等号在n=2时取得此时需满足25当n为奇数时，要使不等式Tnn+8（1）n恒成立，即需不等式=2n15恒成立2n是随n的增大而增大，n=1时，2n取得最小值6此时需满足21综合、可得的取值范围是21（3）T1=，Tm=，Tn=，若T1，Tm，Tn成等比数列，则（）2= （），即=由=，可得=0，即2m2+4m+10，1m1+又mN，且m1，所以m=2，此时n=12因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列2017年7月13日
