1、天津市静海区第一中学2021届高三数学上学期9月学生学业能力调研试题（含解析）一选择题：(每小题5分，共35分)1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，再求并集即可.【详解】集合表示函数的值域，故.由，得，故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质、一元二次不等式的解法以及并集的运算，属于基础题.2. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据前n项和与通项之间的关系化
2、简判断即可.【详解】等差数列的公差为d,则“”是“”的充要条件,故选：C【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.3. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，所以.【详解】解：因为所以故选A【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.4. 若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，
3、从而可得，进而可得所求最小值【详解】由题意得，将函数 的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为故选C【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的5. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C、D；利用奇偶性可排除选项B，进而可得结果.【详解】因为，所以，令可得，即函数有且仅有两个极值点，可排除
4、选项C、D；又因为函数即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先比较的大小，利用偶函数的性质可得，再利用在上单调递增可比较函数值的大小【详解】解：因为；，所以， 为偶函数又在上单调递增,，即故选：C【点睛】此题考查偶函数的
5、性质，考查指数式、对数式比较大小，考查计算能力，属于中档题.7. 四边形ABCD中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为,故四点共圆.又,易得.易得当在时取最小值,当在时取最大值.故的取值范围是. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型.二填空题：(每小题5分，共30分)8. 已知是边长为2的等边三角形，且与相交于点，则_.【答案】【解析】【分析】选取为基底，其他向量用基底表示后再求数量积【详解】，又，设，三点共线，故答案为：【点睛】
6、本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示，然后计算9. 已知正实数a，b满足，则的最小值是_【答案】【解析】分析】由=2a+，代换后利用基本不等式即可求解【详解】正实数a，b满足2a+b=3，2a+b+2=5，则=2a+=2a+b+2+4=1+=1+（）2a+（b+2）=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是故答案为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10. 设分别是定
7、义在R上的奇函数和偶函数，当 时，且，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】由f（x）g（x）+f（x）g（x）0得f（x）g（x）0，进而得f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（3）0可求得答案【详解】设F（x）f （x）g（x），当x0时，F（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，F（x）在当x0时为增函数F（x）f （x）g （x）f （x）g （x）F（x）故F（x）为（，0）（0，+）上的奇函数.F（x）在（0，+）上也为增函数已知g（3）0，必有F（3）F（3）0.得F（x）0的解集为：（，3）
8、（0，3）故答案为（，3）（0，3）【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，属于中档题11. 已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为_.【答案】【解析】【分析】先根据的最小正周期计算出的值，再根据图象过点结合的范围求解出的值，再根据条件将方程变形，先确定出的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和.【详解】因为的最小正周期为，所以，又因为图象过点，所以，所以，又因为，所以且此时，所以，又因时，所以，所以，因为，所以，当时，或，解得或，所以方程所有解的和为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到，此处需要注意不
9、能直接约去，因为需要考虑的情况.12. 已知函数（其中），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断出为奇函数；再利用单调性的性质结合奇函数的性质可知在上单调递增；利用奇偶性和单调性将问题转化为对任意恒成立，通过分离变量可知，求解最小值可得到结果.【详解】当时，即为上的奇函数当时，单调递增，则单调递增，又单调递增在上单调递增由奇函数对称性可知，在上单调递增可化为即对任意恒成立即对任意恒成立当时， 本题正确结果：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的判断和综合应用，关键是能够利用函数性质将问题转化为自变量之间的关系，从而利用分离变量法解决恒成立问题.13
10、. 如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,|=2,E为BC边(包含端点)上一点,则|的取值范围是_,的最小值为_.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】时，长度最短，与重合时，长度最长然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值【详解】根据菱形性质可得OC,则BO.(1)作AFBC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即|;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),所以BC:y,设E(m,)则,其中m对称轴为m,故当m时最小,最小值
11、为.故答案为：；【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解这样只要计算即可三解答题：(本大题共3小题，共53分)14. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且的面积为求a及sinC的值；求的值【答案】 ，【解析】【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解与,再根据余弦的差角公式计算即可.【详解】在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,的面积为,再根据正弦定理可得即,故【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差
12、角公式的运用,属于中等题型.15. 已知函数f（x）4sin（x）cosx（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数g（x）f（x）m所在0，匀上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan（x1+x2）的值【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为：，kZ；（2）m，2），tan（x1+x2）【解析】【分析】（1）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求函数性质即可；（2）数形结合，根据图象有2个交点，求得的范围；根据对称性，即可求得，再求正切即可.【详解】函数f（x）4sin（x）cosx化简可得：f（x）2sinx
13、cosx2cos2xsin2x（cos2x）sin2xcos2x2sin（2x）（1）函数的最小正周期T，由2x时单调递增，解得：函数的单调递增区间为：，kZ（2）函数g（x）f（x）m所在0，匀上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f（x）与函数ym有两个交点令u2x，x0，u，可得f（x）sinu的图象（如图）从图可知：m在，2），函数f（x）与函数ym有两个交点，其横坐标分别为x1，x2故得实数m的取值范围是m，2），由题意可知x1，x2是关于对称轴是对称的：那么函数在0，的对称轴xx1+x22那么：tan（x1+x2）tan【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及三角函数性
14、质的性质的求解，数形结合的思想，属综合中档题.16. （1）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围_.（2）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是_.（3）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_.（4）问题：用图象解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？【答案】（1）或（2）（3）（4）答案见解析【解析】【分析】（1）转化为函数的图象与直线有且只有3个交点，按照，分类讨论，结合函数的图象可解得结果；（2）转化为与的图象有4个交点，分类讨论，根据函数的图象可解得结果；（3）转化为函数与函数的图象的位置关系，再利用且在上恒成立可求得结果；（4）从
15、构造函数、作图、观察函数的图象特征几个方面回答即可得解.【详解】（1）函数有且只有3个零点，等价于函数的图象与直线有且只有3个交点，当时，由 得，由得，此时函数的图象与直线只有2个交点，不符合题意；当时，恒过定点，与轴的交点为，当，即时，两个函数的图象如图： 由图可知，直线与必有2个交点，联立，消去得，则有2个大于2的实根，所以，解得，当，即时，图象如图：由图可知，符合题意；当，即时，如图： 由图可知与有2个点，即有2个大于2的实根，所以，解得，综上所述：或.（2）函数恰有4个零点，等价于有4个实根，等价于与的图象有4个交点，当时，与的图象如图：由图可知，两个函数的图象只有2个交点，不符合题意
16、；当时，与轴交于两点，两个交点的横坐标为，图象如图： 当时，的函数值为，函数的函数值为，所以两个函数的图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，两个交点的横坐标为，图象如图：由图可知，两个函数的图象在内有2个交点，要使两个函数的图象有4个交点，只需与的图象在内还有两个交点，即在内有2个实根，也就是在内有两个实根，因为，当且仅当时取等号，所以，且，得.综上所述：的取值范围为.（3）不等式恒成立，即恒成立，作出函数的图象，由图可知且在上恒成立，即且在上恒成立，因为，当且仅当时，取得等号，所以.所以实数的取值范围为.（4）使用图象解决函数零点问题时，要合理构造函数，尽量构造常见函数，作图时，一定
17、要准确作出函数图象，通过图象观察出函数的单调性，图象经过的定点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解17. 已知函数，若函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）求证：当时，；（3）求证：.【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：详解：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调
18、区间，结合函数的单调性以及函数零点的个数确定的范围即可；（2）求出函数的导数，求出，结合函数的单调性求出是函数的极大值点，也是最大值点，从而证明结论（3）证明：由题意得是两根，可得，要证明，只需证，即令，所以只需证在成立即可，设，利用导数研究其性质，可证成立.设，所以在是增函数，即成立. （1），定义域为，当时，在递增，不可能有两个零点，当时，时，时，所以是函数的极大值点，也是最大值点又因为时，时，要使有两个零点，只需，（2）在是减函数，存在唯一的，使，即，所以，即当时，当时，是函数的极大值点，也是最大值点在上，即成立（3）证明：由题意得是两根，得，得，要证明，只需证，即证所以只需证，即令，所
19、以只需证在成立即可设，所以在是增函数，即成立. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属难题18. 已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据已知条件求解出的值，则和的通项公式可求；（2）先表示出，然后采用分组求和的方法求解出.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，又因为，所以，解得，所以，；（2）因为，所以所以，所以.【点睛】易错点睛：对于需
20、要分组求和的数列在求和时的注意事项：（1）注意分析等差、等比数列的公差、公比；（2）确定好每一组待求和数列的项数.19. 设函数，.（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；（2）在（1）的条件下，当时，求证：；（3）证明：对于任意正整数，不等式.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据切线方程可知，由此确定出的值；（2）构造函数，利用导数分析的单调性并确定最小值，由此证明出；（3）将（2）中的不等式变形得到，令，得到，将不等式左右两边对应的个式子叠加即可得到所证明的不等式.【详解】（1）因为，且，所以，所以；（2）由（1）知，设，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以当时，恒成立；（3）由（2）知：当时，恒成立，所以时，所以时，即，即，不妨令，所以时，恒成立，所以，所以对于任意正整数，不等式成立.【点睛】思路点睛：利用导数证明形如的不等式的步骤：（1）将不等式变形为；（2）构造函数，利用导数分析的单调性确定出其最小值；（3）计算出，将其与作比较，从而完成的证明.
