1、第2讲圆锥曲线【自主学习】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第4750页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且经过点P,则椭圆的标准方程为.【答案】+=1【解析】设椭圆方程为+=1,由题意得解得a2=10,b2=6,所以所求方程为+=1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12,离心率为,则双曲线的标准方程为.【答案】-=1或-=1【解析】由b=6,=,结合a2+b2=c2,解得a=8,c=10,由于对称轴不确定,所以双曲线标准方程为-=1或-=1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2,-
2、4)的抛物线标准方程为.【答案】y2=-8x或x2=-y【解析】因为点P(-2,-4)在第三象限,所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y2=-2p1x或x2=-2p2y,分别代入点P的坐标,解得p1=4,p2=,所以抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为.【答案】2【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,点M到焦点的距离为3,说明到准线的距离为3,所以点M到y轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x,y)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两个焦点
3、,则PF1PF2的最大值为.【答案】a2【解析】因为PF1PF2=PF1(2a-PF1)=-P+2aPF1=-(PF1-a)2+a2,由于a-cPF1a+c,所以当PF1=a时,PF1PF2有最大值a2.【要点导学】要点导学各个击破求圆锥曲线的标准方程例1(2015扬州中学)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.【分析】(1) 利用直线与圆相切
4、求出b的值,然后利用离心率可求出a的值,从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点,验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离,即b=.因为离心率e=,所以=,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2) 由题意可设M,N两点的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,直线QN的方程为y=x+2.设点T的坐标为(x,y).联立解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1,整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本
5、方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知动点P到定点Q(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹C的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识,以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意,可设椭圆C的方程为+=1(ab0),且
6、可知左焦点为F(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的方程为+=1.(2) 设点P(x,y),依题意,得=,整理,得+=1,所以动点P的轨迹C的方程为+=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c,再利用椭圆定义先求得2a的值,从而利用椭圆中a,b,c的关系,求得b的值,从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1,代入已知点求解,显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(2015苏州调研)如图,A,B是椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点,M是椭圆上异于A,B的任意一点,直线l是椭圆C的右准线.(例2)(1) 若椭圆C的离心率为,直线l:x=
7、4,求椭圆C的方程;(2) 设直线AM交l于点P,以MP为直径的圆交MB于点Q,若直线PQ恰好经过原点,求椭圆C的离心率.【分析】(1) 根据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数,设直线AM的方程为y=k(x+a),然后解得M,P的坐标求解,则运算量较大;若用点参数,设点M的坐标,然后通过求得点P的坐标求解,则运算量较小,然后,通过A,M,P三点共线,求出点P的坐标,再利用互相垂直的直线的斜率之积为-1建立a,b,c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得所以椭圆C的方程为+=1.(2) 设M(x,y),P.由A,M,P三点共线得=,所以y0=.因为点M在椭圆上,所以y2=
8、.又MP为直径,所以OPBM,所以kOPkBM=-1,所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0,又0eb0),点A,B1,B2,F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点,若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为.【答案】(变式1)【解答】如图,A(-a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F(c,0),设点M.由=kAM,得=,所以yM=b.由=kFM,得=,所以yM=.从而b=,整理得2e2+e-1=0,解得e=.变式2(2015泰州期末)若双曲线-=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e=.【答案】【解答】由双曲线的性质“焦点
9、到渐近线的距离等于b”,得b=,所以a2+=c2,整理得3c2-2ac-5a2=0,所以3e2-2e-5=0,解得e=.直线与圆锥曲线问题例3(2015南京调研)给定椭圆C:+=1(ab0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).(1) 求实数a,b的值;(2) 若过点P(0,m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程,进而可求出实数a,b的值.(2) 由题意设出直线l的方程为y=kx+m,由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k,m的一个
10、方程,再由直线被圆所截得的弦长,又可得到关于k,m的一个方程,这样可以解出k,m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1,=,a2=c2+b2,解得a=2,b=1.(2) 由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,从而=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0,化简,得m2=1+4k2.因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,所以圆心到直线l
11、的距离d=.即=.由解得k2=2,m2=9.因为m0,所以m=3.变式(2015泰州二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(ab0)的左顶点为A,与x轴平行的直线与椭圆E交于B,C两点,过B,C两点且分别与直线AB,AC垂直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为,右焦点到右准线的距离为.(变式)(1) 求椭圆E的标准方程;(2) 求证:点D在一条定直线上运动,并求出该直线的方程;(3) 求BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得=-c=,解得a=3,c=,所以b=2,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2) 设B(x0,y0),C(-x0,y0).显然直线AB,AC,BD,CD的
12、斜率都存在,设为k1,k2,k3,k4,则k1=,k2=,k3=-,k4=,所以直线BD,CD的方程为y=-(x-x0)+y0,y=(x+x0)+y0,消去y,得-(x-x0)+y0=(x+x0)+y0,化简得x=3,所以点D在定直线x=3上运动.(3) 由(2)得点D的纵坐标为yD=(3+x0)+y0=+y0.又+=1,所以-9=-,则yD=+y0=-y0,所以点D到直线BC的距离h=|yD-y0|=|y0|.将y=y0代入+=1,得x=3,所以SBCD=BCh=6|y0|=|y0|=,当且仅当1-=,即y0=时等号成立,故当y0=时,BCD面积取最大值为.1. (2015苏锡常镇宿一调)双
13、曲线x2-=1的离心率为.【答案】【解析】由标准方程可得a2=1,b2=2,所以c2=3,所以e=.2. (2015苏锡常镇二调)已知双曲线-=1(a,b0)的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为.【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得,双曲线的渐近线方程为y=x,故焦点到渐近线的距离为d=|b|=1,即b2=1.又因为=2,故c2=a2+b2=4a2,所以a2=,故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2015南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,定点A(2,0),若射线FA与抛物线C相交于点M,与抛物线C的准线
14、相交于点N,则FMMN=.【答案】【解析】方法一:由题意得F(0,1),所以直线AF的方程为+=1,将它与抛物线的方程联立,解得依题意知交点在第一象限,故取M.准线方程为y=-1,故易求得点N(4,-1),所以由三角形相似性质得=.(第3题)方法二:如图,设点M到准线的距离为MB,则根据条件得=1.又因为F(0,1),所以直线FA的斜率为k=-,从而sin ANB=,即=,所以=.4. (2015扬州期末)如图,A,B,C是椭圆M:+=1(ab0)上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,BC过椭圆M的中心,且满足ACBC,BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率;(2) 若y轴被ABC的外接
15、圆所截得的弦长为9,求椭圆M的方程.【解答】(1) 因为BC过椭圆M的中心,所以BC=2OC=2OB.又因为ACBC,BC=2AC,所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形,则A(a,0),C,B,所以+=1,则a2=3b2,所以c2=2b2,e=,所以椭圆M的离心率为.(2) ABC的外接圆圆心为AB的中点P,半径为a,则ABC的外接圆为+=a2.令x=0,得y=a或y=-,所以a-=9,解得a=6.所以所求椭圆M的方程为+=1.【融会贯通】完善提高融会贯通典例如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C是椭圆+=1(ab0)上不同的三点,且A,B(-3,-3),点C在第三象限,线段BC的
16、中点在直线OA上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程;(2) 求点C的坐标;(3) 设动点P(异于点A,B,C)在椭圆上,且直线PB,PC分别交直线OA于点M,N,求证:为定值,并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知,得 解得2分所以椭圆的标准方程为+=13分(2) 设点C(m,n)(m0,nb0)上的任意两点,直线PQ与x轴交于点M,点R与点P关于x轴对称,直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1,x2,y1,y2表示点M和点N的横坐标;(2) 求证:为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ:(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,即(y2-y1)x-(x
17、2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0,则xM=.又R(x1,-y1),所以直线QR:(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0,即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0,令y=0,则xN=.(2) 由(1)可得=a2,为定值.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2015常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为,那么实数a的值为.2. (2015苏州调查)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为.3.
18、 (2014苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的离心率为,且过点(1,),则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=y2的准线与双曲线-=1的右准线重合,则实数m的值是.5. (2014辽宁卷)已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则AN+BN=.6. 如图,已知A,B,C是椭圆+=1(ab0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且=0,|=2|,那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2015盐城中学)设椭圆+=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同
19、,离心率为,则此椭圆的短轴长为.8. (2015丹阳中学)设A,B分别是椭圆+=1(ab0)的左、右顶点,点P是椭圆C上且异于A,B的一点,若直线AP与BP的斜率之积为-,则椭圆C的离心率为.二、 解答题9. (2014南京、淮安三模)已知椭圆C:+=1(ab0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b.过点P作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于另两点M,N.(1) 求椭圆C的方程;(2) 若直线l1的斜率为-1,求PMN的面积.10. (2015赣榆中学)如图,椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且=1,|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上
20、顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使得点F恰为PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(第10题)11. 如图,椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为F(1,0),且过点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知A,B为椭圆上的点,且直线AB垂直于x轴,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M,求证:点M恒在椭圆C上.(第11题)【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得-=1,所以c2=+.又因为e2=1+=3,所以a=8.2. y=x【解析】由题意得=3,所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=
21、 x,即y=x.3. y2-x2=1【解析】因为双曲线的离心率e=,所以双曲线为等轴双曲线.设双曲线方程为x2-y2=m,则由点(1,)在双曲线上得1-2=m=-1,故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12【解析】-=1的右准线为x=3,所以抛物线y2=mx的开口向左,-=3,解得m=-12.5. 12【解析】取MN的中点为G,点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A,点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B,则有GF1=AN,GF2=BN,所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. +=1【解析】因为|=2|,直线BC过点(0,0),则|=|.又因为=0,所以O
22、CA=90,即C().又因为a=2,所以椭圆方程为+=1,把点C的坐标代入上式,得b2=4,所以椭圆的方程为+=1.7. 4【解析】由题意可知,抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以c=2,因为离心率为,所以a=4,所以b=2,所以椭圆的短轴长为4.8. 【解析】由题意知A(-a,0),B(a,0),取P(0,b),则kAPkBP=-,故a2=3b2,所以e2=,即e=.9. (1) 由条件得+=1,且c2=2b2,所以a2=3b2,解得b2=,a2=4,所以椭圆的方程为+=1.(2) 设直线l1的方程为y+1=k(x+1),联立消去y,得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2
23、-4=0.因为点P的坐标为(-1,-1),解得M.当k0时,用-代替k,得N.将k=-1代入,得M(-2,0),N(1,1).因为P(-1,-1),所以PM=,PN=2,所以PMN的面积为2=2.10. (1) 设椭圆方程为+=1(ab0),则c=1.又因为=1,即(a+c)(a-c)=1=a2-c2,所以a2=2,故椭圆方程为+y2=1.(2) 假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F恰为PQM的垂心,则设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为M(0,1),F(1,0),故kPQ=1,于是可设直线l的方程为y=x+m,联立得3x2+4mx+2m2-2=0.因为=0=x1(x2-1)+y2(y
24、1-1),又yi=xi+m(i=1,2),得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0.由韦达定理得2-(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1(舍去).经检验m=-符合条件,所以直线l的方程为y=x-.11. (1) 由题意得解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为+=1.(2) 因为F(1,0),N(4,0).设A(m,n),M(x0,y0),则B(m,-n),n0,则直线AF的方程为y=(x-1),直线BN的方程为y=(x-4),解得点M的坐标为.代入椭圆方程中,得+=+=.由+=1,得n2=3,代入上式得+=1.所以点M恒在椭圆C上.