1、第2讲圆锥曲线【自主学习】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第4750页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P，则椭圆的标准方程为.【答案】+=1【解析】设椭圆方程为+=1，由题意得解得a2=10，b2=6，所以所求方程为+=1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为，则双曲线的标准方程为.【答案】-=1或-=1【解析】由b=6，=，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为-=1或-=1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2，-
2、4)的抛物线标准方程为.【答案】y2=-8x或x2=-y【解析】因为点P(-2，-4)在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y2=-2p1x或x2=-2p2y，分别代入点P的坐标，解得p1=4，p2=，所以抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为.【答案】2【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，点M到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M到y轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x，y)是椭圆+=1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点
3、，则PF1PF2的最大值为.【答案】a2【解析】因为PF1PF2=PF1(2a-PF1)=-P+2aPF1=-(PF1-a)2+a2，由于a-cPF1a+c，所以当PF1=a时，PF1PF2有最大值a2.【要点导学】要点导学各个击破求圆锥曲线的标准方程例1(2015扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1) 利用直线与圆相切
4、求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b=.因为离心率e=，所以=，所以a=2，所以椭圆C的标准方程为+=1.(2) 由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=x+1，直线QN的方程为y=x+2.设点T的坐标为(x，y).联立解得x0=，y0=.因为+=1，所以+=1，整理得+=(2y-3)2，所以+-12y+8=4y2-12y+9，即+=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本
5、方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0，n0，mn)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知动点P到定点Q(，0)的距离与点P到定直线l：x=2的距离之比为，求动点P的轨迹C的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意，可设椭圆C的方程为+=1(ab0)，且
6、可知左焦点为F(-2，0)，从而有解得又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为+=1.(2) 设点P(x，y)，依题意，得=，整理，得+=1，所以动点P的轨迹C的方程为+=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，从而利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(2015苏州调研)如图，A，B是椭圆C：+=1(ab0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆C的右准线.(例2)(1) 若椭圆C的离心率为，直线l：x=
7、4，求椭圆C的方程；(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率.【分析】(1) 根据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数，设直线AM的方程为y=k(x+a)，然后解得M，P的坐标求解，则运算量较大；若用点参数，设点M的坐标，然后通过求得点P的坐标求解，则运算量较小，然后，通过A，M，P三点共线，求出点P的坐标，再利用互相垂直的直线的斜率之积为-1建立a，b，c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得所以椭圆C的方程为+=1.(2) 设M(x，y)，P.由A，M，P三点共线得=，所以y0=.因为点M在椭圆上，所以y2=
8、.又MP为直径，所以OPBM，所以kOPkBM=-1，所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0，又0eb0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】(变式1)【解答】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M.由=kAM，得=，所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=.从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=.变式2(2015泰州期末)若双曲线-=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=.【答案】【解答】由双曲线的性质“焦点
9、到渐近线的距离等于b”，得b=，所以a2+=c2，整理得3c2-2ac-5a2=0，所以3e2-2e-5=0，解得e=.直线与圆锥曲线问题例3(2015南京调研)给定椭圆C：+=1(ab0)，称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1).(1) 求实数a，b的值；(2) 若过点P(0，m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程，进而可求出实数a，b的值.(2) 由题意设出直线l的方程为y=kx+m，由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k，m的一个
10、方程，再由直线被圆所截得的弦长，又可得到关于k，m的一个方程，这样可以解出k，m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1，=，a2=c2+b2，解得a=2，b=1.(2) 由(1)知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，从而=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0，化简，得m2=1+4k2.因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l
11、的距离d=.即=.由解得k2=2，m2=9.因为m0，所以m=3.变式(2015泰州二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1(ab0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为.(变式)(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 求证：点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3) 求BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得=-c=，解得a=3，c=，所以b=2，所以椭圆E的标准方程为+=1.(2) 设B(x0，y0)，C(-x0，y0).显然直线AB，AC，BD，CD的
12、斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则k1=，k2=，k3=-，k4=，所以直线BD，CD的方程为y=-(x-x0)+y0，y=(x+x0)+y0，消去y，得-(x-x0)+y0=(x+x0)+y0，化简得x=3，所以点D在定直线x=3上运动.(3) 由(2)得点D的纵坐标为yD=(3+x0)+y0=+y0.又+=1，所以-9=-，则yD=+y0=-y0，所以点D到直线BC的距离h=|yD-y0|=|y0|.将y=y0代入+=1，得x=3，所以SBCD=BCh=6|y0|=|y0|=，当且仅当1-=，即y0=时等号成立，故当y0=时，BCD面积取最大值为.1. (2015苏锡常镇宿一调)双
13、曲线x2-=1的离心率为.【答案】【解析】由标准方程可得a2=1，b2=2，所以c2=3，所以e=.2. (2015苏锡常镇二调)已知双曲线-=1(a，b0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为y=x，故焦点到渐近线的距离为d=|b|=1，即b2=1.又因为=2，故c2=a2+b2=4a2，所以a2=，故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2015南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A(2，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线
14、相交于点N，则FMMN=.【答案】【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为+=1，将它与抛物线的方程联立，解得依题意知交点在第一象限，故取M.准线方程为y=-1，故易求得点N(4，-1)，所以由三角形相似性质得=.(第3题)方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则根据条件得=1.又因为F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=-，从而sin ANB=，即=，所以=.4. (2015扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：+=1(ab0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足ACBC，BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率；(2) 若y轴被ABC的外接
15、圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.【解答】(1) 因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又因为ACBC，BC=2AC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A(a，0)，C，B，所以+=1，则a2=3b2，所以c2=2b2，e=，所以椭圆M的离心率为.(2) ABC的外接圆圆心为AB的中点P，半径为a，则ABC的外接圆为+=a2.令x=0，得y=a或y=-，所以a-=9，解得a=6.所以所求椭圆M的方程为+=1.【融会贯通】完善提高融会贯通典例如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆+=1(ab0)上不同的三点，且A，B(-3，-3)，点C在第三象限，线段BC的
16、中点在直线OA上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求点C的坐标；(3) 设动点P(异于点A，B，C)在椭圆上，且直线PB，PC分别交直线OA于点M，N，求证：为定值，并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知，得 解得2分所以椭圆的标准方程为+=13分(2) 设点C(m，n)(m0，nb0)上的任意两点，直线PQ与x轴交于点M，点R与点P关于x轴对称，直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1，x2，y1，y2表示点M和点N的横坐标；(2) 求证：为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，即(y2-y1)x-(x
17、2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0，则xM=.又R(x1，-y1)，所以直线QR：(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0，即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0，令y=0，则xN=.(2) 由(1)可得=a2，为定值.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2015常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为，那么实数a的值为.2. (2015苏州调查)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.
18、 (2014苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的离心率为，且过点(1，)，则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=y2的准线与双曲线-=1的右准线重合，则实数m的值是.5. (2014辽宁卷)已知椭圆C：+=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则AN+BN=.6. 如图，已知A，B，C是椭圆+=1(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且=0，|=2|，那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2015盐城中学)设椭圆+=1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同
19、，离心率为，则此椭圆的短轴长为.8. (2015丹阳中学)设A，B分别是椭圆+=1(ab0)的左、右顶点，点P是椭圆C上且异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-，则椭圆C的离心率为.二、 解答题9. (2014南京、淮安三模)已知椭圆C：+=1(ab0)过点P(-1，-1)，c为椭圆的半焦距，且c=b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为-1，求PMN的面积.10. (2015赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上
20、顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11. 如图，椭圆C：+=1(ab0)的一个焦点为F(1，0)，且过点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得-=1，所以c2=+.又因为e2=1+=3，所以a=8.2. y=x【解析】由题意得=3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=
21、 x，即y=x.3. y2-x2=1【解析】因为双曲线的离心率e=，所以双曲线为等轴双曲线.设双曲线方程为x2-y2=m，则由点(1，)在双曲线上得1-2=m=-1，故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12【解析】-=1的右准线为x=3，所以抛物线y2=mx的开口向左，-=3，解得m=-12.5. 12【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有GF1=AN，GF2=BN，所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. +=1【解析】因为|=2|，直线BC过点(0，0)，则|=|.又因为=0，所以O
22、CA=90，即C().又因为a=2，所以椭圆方程为+=1，把点C的坐标代入上式，得b2=4，所以椭圆的方程为+=1.7. 4【解析】由题意可知，抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2，因为离心率为，所以a=4，所以b=2，所以椭圆的短轴长为4.8. 【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAPkBP=-，故a2=3b2，所以e2=，即e=.9. (1) 由条件得+=1，且c2=2b2，所以a2=3b2，解得b2=，a2=4，所以椭圆的方程为+=1.(2) 设直线l1的方程为y+1=k(x+1)，联立消去y，得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2
23、-4=0.因为点P的坐标为(-1，-1)，解得M.当k0时，用-代替k，得N.将k=-1代入，得M(-2，0)，N(1，1).因为P(-1，-1)，所以PM=，PN=2，所以PMN的面积为2=2.10. (1) 设椭圆方程为+=1(ab0)，则c=1.又因为=1，即(a+c)(a-c)=1=a2-c2，所以a2=2，故椭圆方程为+y2=1.(2) 假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为M(0，1)，F(1，0)，故kPQ=1，于是可设直线l的方程为y=x+m，联立得3x2+4mx+2m2-2=0.因为=0=x1(x2-1)+y2(y
24、1-1)，又yi=xi+m(i=1，2)，得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0，即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0.由韦达定理得2-(m-1)+m2-m=0，解得m=-或m=1(舍去).经检验m=-符合条件，所以直线l的方程为y=x-.11. (1) 由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为+=1.(2) 因为F(1，0)，N(4，0).设A(m，n)，M(x0，y0)，则B(m，-n)，n0，则直线AF的方程为y=(x-1)，直线BN的方程为y=(x-4)，解得点M的坐标为.代入椭圆方程中，得+=+=.由+=1，得n2=3，代入上式得+=1.所以点M恒在椭圆C上.