1、课时限时检测(六十三)几何概型(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难与长度、角度有关的几何概型3,76,9,10与面积有关的几何概型1,5811,12与体积有关的几何概型2,4一、选择题(每小题5分，共30分)图10651如图1065，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是()A.B.C. D.【解析】由题意知，当MNR时，MON，所以所求概率为1.【答案】D2某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的
2、距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.【解析】依题意得，模型飞行“安全飞行”的概率为3，选D.【答案】D3在区间0，上随机取一个数x，则事件“sin xcos x”发生的概率为()A. B. C. D1【解析】sin xcos x，x0，x，事件“sin xcos x”发生的概率为.【答案】C4有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.【解析】先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半
3、球13.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1.【答案】B5在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A. B. C. D.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部要使函数f(x)x22axb2有零点，则必须有4a24b240，即a2b2，其表示的区域为图中阴影部分故所求概率P.【答案】B6(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()A. B.C. D.【解析】由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在
4、边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EBAB(当点P超过点E向点D运动时，PBAB)设ABx，过点E作EFAB交AB于点F，则BFx.在RtFBE中，EF2BE2FB2AB2FB2x2，即EFx，.【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7(2013湖北高考)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.【解析】由|x|m，得mxm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.即m的值为3.【答案】3图10668已知直线AB：xy60与抛物线yx2及x轴正半轴围成的阴影部分如图1066所示，若从RtAOB区域内
5、任取一点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_【解析】从RtAOB区域内任意取一点，满足几何概型由求得点C(2,4)S阴影x2dx(6x)dx8.又SAOB|OA|OB|6218.故所求的概率P.【答案】9在6,9内任取一个实数m，设f(x)x2mxm，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于_【解析】若函数f(x)x2mxm的图象与x轴有公共点，则m240，又m6,9，得m6，5或m1,9，故所求的概率为P.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)图106710(10分)如图1067所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率【解】
6、弦长不超过1，即|OQ|.因Q点在直径AB上是随机的，事件A为“弦长超过1”由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.11(12分)在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2y21内的概率【解】如图所示，不等式表示的平面区域是ABC的内部及其边界，又圆x2y21的圆心(0,0)到xy0与xy0的距离均为1，直线xy0与xy0均与单位圆x2y21相切，记“点P落在x2y21内”为事件A，事件A发生时，所含区域面积S，且SABC22，故所求事件的概率P(A).12(13分)已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求
7、方程有两个正实数根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率【解】(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A).(2)试验的全部结果构的区域(a，b)|2a6,0b4，其面积为S()16.设“一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，其面积为S(B)424.故所求的概率为P(B).
