1、数学（理）试题第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（ ）A B C D2.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）A直线 B直线 C直线 D直线3.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（ ）A B C D4.直线与的位置关系是（ ）A相离或相切 B相切 C. 相交 D相切或相交5.方程表示的曲线是（ ）A一个圆和一条直线 B一个圆和一条射线 C. 一个圆 D一条直线6.设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如
2、果，那么.其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C. 2 D37.条件；条件：直线与圆相切，则是的（ ）A充分必要条件 B必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D既不充分也不必要条件8.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线上的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A B C. D第卷（非选择题 共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.双曲线的实半轴长与虚轴长之比为 10.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 12.如图，椭圆的左、右焦点分别为，
3、过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为 13.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是 14.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （本小题满分13分）已知圆锥曲线.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围.16. （本小题满分13分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点，.（）求证平面；（）求直线与平面所成的角；（）求四棱锥的外接球的体积.17. （本小题满分13分）已知椭
4、圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（）求椭圆的离心率；（）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.18. （本小题满分13分）已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1.（）求曲线的方程；（）设，过点的直线与曲线相交于两点.若是等边三角形，求实数的值；若，求实数的取值范围.19. （本小题满分14分）如图所示的多面体中，菱形，是矩形，平面，.（）异面直线与所成的角余弦值；（）求证平面平面；（）在线段取一点，当二面角的大小为60时，求.20. （本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.（）求椭圆的方程
5、；（）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: ADACD 6-8:CBC 二、填空题9. 10. 11. 12.13. 或 14.三、解答题15.解：因为表示曲线，所以，命题是真命题，则；满足，解得.16.（）如图，连结，则是的中点，又是的中点，.又平面，面平面.（）取的中点，连接.在正方形中，是的中点，有.平面，平面，平面，是直线在平面的射影，是直线与平面所成的角，在直角三角形中，所以.直线与平面所成的角为45
6、.（）设四棱锥的外接球半径为，则，即.所以外接球的体积为.17. （）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.18. （）设点曲线上任意一点，由题设有，于是，整理得.由于曲线在轴的上方，所以.所以曲线的方程为.（）设. 由题意，即，于是，将代入，得，由，得.从而，所以.因为是等边三角形，所以.将代入，解得，此时.（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） 设直线，联立得，.，于是.因为，即.因，从而.解得.19. （）因为，所以就是异面直线与所成的角，连接，在中，于是，所以异面直线与所成的角余弦值为.（）取的中点.由于面，又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，所以，就是二面角的平面角经计算，所以，即.所以平面平面.（）建立如图的直角坐标系，由，则.平面的法向量.设，则设平面的法向量，则得，令，则，得.因为二面角的大小为60，所以，整理得，解得所以.20. 解：（）如图，由题意得，.，所求的椭圆方程为.（）由（）知，.由题意可设.，由整理得.，得.，.（）设，则.若以为直径的圆恒过的交点，则，即由（）可知.即恒成立.存在使得以为直径的圆恒过直线的交点.
