1、目标定位1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”、“计算太阳质量”的基本思路.3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路一、天体质量和密度的计算1利用天体表面的重力加速度g和天体半径R由于Gmg，故天体质量M，天体密度2通过观察卫星或行星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r(1)由万有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天体质量M；(2)若已知天体的半径R，则天体的平均密度；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出
2、中心天体的密度【深度思考】(1)若已知卫星绕地球运动的周期T和卫星到地心的距离r，可以计算卫星的质量吗？(2)若已知地球绕太阳运动的周期T和地球到太阳的距离r，可以计算太阳的密度吗？答案(1)不可以因为mr，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质量(2)不可以只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度【例1】有消息称，英国曼彻斯特大学的天文学家，已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成若已知万有引力常数，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量()A该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径B该行星的自转周期与星体
3、的半径C围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及运行半径D围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及公转线速度答案CD解析由mgG知，由于不知行星的半径，故无法求行星质量，A错误由万有引力定律和牛顿第二定律可知，卫星绕行星运动的向心力由行星对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得Gmmr2mr，若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T或角速度、线速度v，可求得行星的质量为M，由于v，所以M，所以选项B错，C、D正确，故选C、D(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有rR；计算
4、天体密度时，VR3中的“R”只能是中心天体的半径二、人造卫星运动问题的处理思路及规律1轨道及特点：(1)轨道：赤道轨道、极地轨道及其他轨道，如图1所示图1(2)特点：所有的轨道圆心都在地心2处理思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供3常用关系：(1)Gmamm2rmr(2)mgG(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2GM，该公式通常被称为黄金代换式4规律：(1)由Gm得v，r越大，v越小(2)由Gm2r得，r越大，越小(3)由Gm2r得T2，r越大，T越大(4)由Gma得a，r越大，a越小以上结论可总结为“一定四定，越远越
5、慢”【例2】可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道()A与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆B与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆C与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地面是运动的答案CD解析人造卫星飞行时，由于地球对卫星的引力作为它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，故所有的人造卫星其轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不能是地轴上(除地心外)的某一点，故选项A是错误的；由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以选项B也是错误的；相对地球表面静
6、止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，而低于或高于该高度的人造卫星也是可以在赤道平面内运动的，不过由于它们的周期和地球自转的周期不相同，就会相对于地面运动故正确选项为C、D天体运动问题解决技巧：(1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、T、a等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢”(v、T)、“越远越小”(a)(2)若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2GM(mgG)的应用(3)若已知量或待求量中涉及v或或T，则应考虑从Gmm2rmr中选择公式应用【例3】地球的两颗人造卫星质量之比m1m212，轨道半径之比r1r212.求：(1)
7、线速度大小之比；(2)角速度之比；(3)运行周期之比；(4)向心力大小之比答案见解析解析设地球的质量为M，两颗人造卫星的线速度分别为v1、v2，角速度分别为1、2，运行周期分别为T1、T2，向心力分别为F1、F2(1)根据万有引力定律Gm得v，所以故二者线速度大小之比为1(2)根据圆周运动规律vr得所以，故二者角速度之比为21(3)根据圆周运动规律T，所以故二者运行周期之比为12(4)根据万有引力充当向心力，有FG，所以，故二者向心力大小之比为21三、宇宙速度同步卫星1宇宙速度的意义：(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v179 km/s，物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度(2)第二
8、宇宙速度(脱离速度)：v2112 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3167 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2对第一宇宙速度的理解和推导：(1)认识：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度(2)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g9.8 m/s2，则(3)理解：第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是最小发射速度3发射速度与发射轨道：(1)当11.2 km/sv发7.9 km/s时，卫星绕地球运动，其轨道是圆或椭圆，地球位于一个焦点上，且发射
9、速度越大，椭圆的半长轴越大(2)当16.7 km/sv发11.2 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系的一颗“小行星”(3)当v发16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去4地球同步卫星及特点：(1)概念：指相对于地面静止的卫星，又叫通讯卫星(2)六个“一定”运行方向一定：同步卫星的运行方向与地球的自转方向一致；周期一定：运转周期与地球自转周期相同，T24 h；角速度一定：等于地球自转角速度；轨道平面一定：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内；高度一定：所有同步卫星离地面高度相同，均约为36 000 km；速率一定：所有同步卫星的环绕速率相同【深度思考】(1)不
10、同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？答案(1)不同由第一宇宙速度的计算式v 可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关(2)越大向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力【例4】我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为()A0.4 km/s B1.8 km/sC11 km/s D36 k
11、m/s答案B解析星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度卫星所需的向心力由万有引力提供，Gm，得v，又由、，故月球和地球上第一宇宙速度之比，故v月7.9 km/s1.8 km/s，因此B项正确【例5】关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是()A若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C它以第一宇宙速度运行D它运行的角速度与地球自转角速度相同答案D解析由Gm得r，可知轨道半径与卫星质量无关，A错；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上
12、空运行，B错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错；所谓“同步”就是卫星保持与地面赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D对1(对三个宇宙速度的理解)(多选)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是()A第一宇宙速度v17.9 km/s，第二宇宙速度v211.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D第一宇宙速度7.9 k
13、m/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度答案CD解析根据v 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v17.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确2(人造卫星运动的规律)(多选)火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆已知
14、火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比()A火卫一距火星表面较近B火卫二的角速度较大C火卫一的运动速度较大D火卫二的向心加速度较大答案AC解析由mamr得：a，v，r ，则T大时，r大，a小，v小，且由知T大，小，故正确选项为A、C3(人造卫星运动的规律)(多选)设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则()A卫星的线速度为 B卫星的角速度为 C卫星做圆周运动所需的向心力为mgD卫星的周期为2 答案AC解析由Gmg和Gmm23Rm3R可求得卫星的线速度为v，角速度，周期T6 ，卫星做圆周运动所需的向心力等于万有引
15、力，即FGmg，故选项A、C正确4(天体的质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T1，已知引力常数为G，则该天体的密度为_.若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为_答案解析设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有GmR得M根据数学知识可知天体的体积VR3，故该天体密度卫星距天体表面的高度为h时有Gm(Rh)得M，题组一对三个宇宙速度的理解1(多选)下列说法正确的是()A第一宇宙速度是从地面上发射人造地球卫星的最小发射速度B第一宇宙速度是在地球表面附近环
16、绕地球运转的卫星的最大速度C第一宇宙速度是同步卫星的环绕速度D卫星从地面发射时的发射速度越大，则卫星距离地面的高度就越大，其环绕速度则可能大于第一宇宙速度答案AB解析第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运转的最大速度，离地越高，卫星绕地球运转的速度越小2(多选)已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地面重力加速度为g，万有引力常数为G，地球同步卫星的运行速度为v，则第一宇宙速度的值可表示为()A B C DR答案ABC题组二地球同步卫星3(多选)下列关于地球同步卫星的说法正确的是()A它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小B它的周期、高度、速度
17、都是一定的C我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空D我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空答案BD解析同步卫星的轨道平面过地心，且相对地面静止，只能在赤道上空，它的高度一定，速度一定，周期一定，与地球自转同步，故选项B、D正确4(2016全国卷，17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A1 h B4 hC8 h D16 h答案B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定
18、律k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示卫星的轨道半径为r2R由得.解得T24 h题组三天体的质量和密度的计算5(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常数为G，则地球的质量可表示为()A BC D答案AC解析根据Gmr得，M，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mgG，则M，选项C正确，选项D错误6已知万有引力常数G，那么在下列给出的情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是()A在月球表面使一个小球做自由落
19、体运动，测出下落的高度H和时间tB发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期TC观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期TD发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T答案B解析根据选项A的条件，可以算出月球上的重力加速度g.由Gmg，可以求出月球质量和月球半径的平方比，.无法求出密度，选项A不正确；根据选项B的条件，由Gmr()2，可求出月球质量和月球半径的立方比，得月球密度为，选项B正确；根据选项C的条件无法求出月球的质量，选项C不正确；根据选项D的条件，由Gm(rH)()2，可求出.虽然知道H的大小，但仍然无法求
20、出月球质量和月球半径的立方比，故选项D不正确，故选B题组四人造卫星运动的规律7我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则()A“天宫一号”比“神舟八号”速度大B“天宫一号”比“神舟八号”周期长C“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D“天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案B解析由题知“天宫一号”的运行轨道半径r1大于“神舟八号”的运行轨道半径r2，天体运行时万有引力提供向心力根据Gm，得v .因为r1r2，故“天宫一号”的运行速度较小，选项A错误；根据Gm2r，得T2 ，故“天宫一号
21、”的运行周期较长，选项B正确；根据Gm2r，得，故“天宫一号”的角速度较小，选项C错误；根据Gma，得a，故“天宫一号”的加速度较小，选项D错误8设行星A和行星B是两个均匀球体，A与B的质量之比MAMB21，A与B的半径之比RARB12，行星A的卫星a沿圆形轨道运行的周期为Ta，行星B的卫星b沿圆形轨道运行的周期为Tb，两卫星的圆形轨道都非常接近各自的行星表面，则它们的运行周期之比TaTb()A14 B12C21 D41答案A解析设某行星的质量为M，半径为R，则Gm()2R，T ，代入数据求结果，卫星a的周期Ta ；卫星b的周期Tb ，已知，得，选项A正确9(2016江苏单科，7)(多选)如图
22、1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积下列关系式正确的有()图1ATATB BEkAEkBCSASB D答案AD解析由mR和EkMv2可得T2，Ek，因RARB，则TATB，EkAEkB，A对，B错；由开普勒定律可知，C错，D对题组五综合应用10我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常数为G.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的平均密度答案(1)
23、(2)解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有Lvt，hgt2解得g(2)在星球表面满足mg又MR3，解得11已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响(1)推导第一宇宙速度的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运动轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T答案(1)(2)2解析(1)根据重力提供向心力可知mgm得v(2)在地表，卫星受到的重力等于地球对它的引力mgG卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力来自于地球对它的引力Gm(Rh)，得T212据报道：某国发射了一颗质量为100 kg、周期为1 h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常数G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案(地球半径约为6.4103 km，g地取9.8 m/s2)答案见解析解析对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得mr，解得T2，则rR月时，T有最小值，又g月，故Tmin222，代入数据解得Tmin1.73 h，环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是则假新闻
