1、专题五综合测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知无穷数列an是各项均为正数的等差数列,则有()A. D.解析:a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2,a(a15d)2a10a1d25d2,故.答案:B2已知数列an的前n项和Snn29n,第k项满足5ak8,则k()A9 B8C7 D6解析:由题意知,数列an为等差数列,anSnSn12n10,由52k10f(a),则实数a的取值范围是()A(,1)(2,) B(1,2)C(2,1) D(,2)(1,)解析:由题知f(x)在
2、R上是增函数,可得2a2a,解得2a0时,S31q12 3,当公比qq D不确定解析:q p,故选B.答案:B10设Sn123n,nN*,则函数f(n)的最大值为()A.B. C.D.解析:由Sn得f(n),当且仅当n,即n8时取等号,即f(n)maxf(8).答案:D11设变量x,y满足约束条件,则目标函数z5xy的最大值为()A4B5C6 D7解析:如图,由图可知目标函数z5xy过点A(1,0)时z取得最大值,zmax5.答案:B12an为等差数列,若1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n()A11 B17C19 D21解析:等差数列an的前n项和Sn有最大值,则公差
3、小于零又1,则有a110,a10a110,S200,anan120,即anan12,数列an是等差数列18(本小题满分12分)(2011山东青岛十九中模拟)等差数列an的各项均为正数,a13,前n项和为Sn,等比数列bn中,b11,b2S264,ban是公比为64的等比数列(1)求an与bn;(2)证明:.解:(1)设an的公差为d,d为正数,bn的公比为q,则an3(n1)d,bnqn1.依题意有,由(6d)q64知q为正有理数,又由q知,d为6的因数1,2,3,6之一,解之得d2,q8.故an2n1,bn8n1.(2)证明:由(1)知Snn(n2),或n3(2n1),当n5(nN*)时,有
4、316Tn4(n1)bn1.同理可得,当n时,有n(n1)4(n1)bn1.综上,当n5(nN*)时,有316Tn4(n1)bn1.20(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品,经销时间共60天,为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an(单位:万元,nN*)记第n天的利润率bn,例如b3.(1)求b1,b2的值;(2)求第n天的利润率bn;(3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率解:(1)当n1时,b1;当n2时,b2.(2)当1n20时,a1a2a3an1an1.bn
5、.当21n60时,bn,第n天的利润率bn(3)当1n20时,bn是递减数列,此时bn的最大值为b1;当21n60时,bn(当且仅当n,即n40时,“”成立)又,当n40时,(bn)max.该商店经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该天的利润率为.21(本小题满分12分)(2011广东潮州模拟)设数列an的前n项和为Sn,且对任意的nN*,都有an0,Sn.(1)求a1,a2的值;(2)求数列an的通项公式an;(3)证明:aaa.解:(1)当n1时,有a1S1,由于an0,所以a11.当n2时,有S2,即a1a2,将a11代入上式,由于an0,所以a22.(2)由Sn,得aaa(a1a
6、2an)2, 则有aaaa(a1a2anan1)2. 得a(a1a2anan1)2(a1a2an)2.由于an0,所以a2(a1a2an)an1. 同样有a2(a1a2an1)an(n2), ,得aaan1an.所以an1an1.由于a2a11,即当n1时都有an1an1,所以数列an是首项为1,公差为1的等差数列故ann.(3)证明:要证aaa,只需证(2n1)n(2n)n(2n1)n,只需证n1n.由于nn2121,因此原不等式成立22(本小题满分14分)已知命题:“若数列an是等比数列,且an0,令bn,则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论解:由题意,得等差数列的一个性质是:若数列an是等差数列,令bn,则数列bn(nN*)也是等差数列证明这个结论:设等差数列an的公差为d,则bna1(n1),所以数列bn是以a1为首项,为公差的等差数列,故所得命题成立