1、专题五综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知无穷数列an是各项均为正数的等差数列，则有()A. D.解析：a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2，a(a15d)2a10a1d25d2，故.答案：B2已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A9 B8C7 D6解析：由题意知，数列an为等差数列，anSnSn12n10，由52k10f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)解析：由题知f(x)在
2、R上是增函数，可得2a2a，解得2a0时，S31q12 3，当公比qq D不确定解析：q p，故选B.答案：B10设Sn123n，nN*，则函数f(n)的最大值为()A.B. C.D.解析：由Sn得f(n)，当且仅当n，即n8时取等号，即f(n)maxf(8).答案：D11设变量x，y满足约束条件，则目标函数z5xy的最大值为()A4B5C6 D7解析：如图，由图可知目标函数z5xy过点A(1,0)时z取得最大值，zmax5.答案：B12an为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n()A11 B17C19 D21解析：等差数列an的前n项和Sn有最大值，则公差
3、小于零又1，则有a110，a10a110，S200，anan120，即anan12，数列an是等差数列18(本小题满分12分)(2011山东青岛十九中模拟)等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，b2S264，ban是公比为64的等比数列(1)求an与bn；(2)证明：.解：(1)设an的公差为d，d为正数，bn的公比为q，则an3(n1)d，bnqn1.依题意有，由(6d)q64知q为正有理数，又由q知，d为6的因数1,2,3,6之一，解之得d2，q8.故an2n1，bn8n1.(2)证明：由(1)知Snn(n2)，或n3(2n1)，当n5(nN*)时，有
4、316Tn4(n1)bn1.同理可得，当n时，有n(n1)4(n1)bn1.综上，当n5(nN*)时，有316Tn4(n1)bn1.20(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an(单位：万元，nN*)记第n天的利润率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率解：(1)当n1时，b1；当n2时，b2.(2)当1n20时，a1a2a3an1an1.bn
5、.当21n60时，bn，第n天的利润率bn(3)当1n20时，bn是递减数列，此时bn的最大值为b1；当21n60时，bn(当且仅当n，即n40时，“”成立)又，当n40时，(bn)max.该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为.21(本小题满分12分)(2011广东潮州模拟)设数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*，都有an0，Sn.(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式an；(3)证明：aaa.解：(1)当n1时，有a1S1，由于an0，所以a11.当n2时，有S2，即a1a2，将a11代入上式，由于an0，所以a22.(2)由Sn，得aaa(a1a
6、2an)2， 则有aaaa(a1a2anan1)2. 得a(a1a2anan1)2(a1a2an)2.由于an0，所以a2(a1a2an)an1. 同样有a2(a1a2an1)an(n2)， ，得aaan1an.所以an1an1.由于a2a11，即当n1时都有an1an1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列故ann.(3)证明：要证aaa，只需证(2n1)n(2n)n(2n1)n，只需证n1n.由于nn2121，因此原不等式成立22(本小题满分14分)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，令bn，则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解：由题意，得等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，令bn，则数列bn(nN*)也是等差数列证明这个结论：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列，故所得命题成立