1、第五节椭圆考情展望1.考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程及利用椭圆的定义解决相关问题.2.考查椭圆的几何性质，主要考查椭圆的离心率，常以选择题、填空题形式出现.3.与向量、函数方程、不等式等知识结合考查直线与椭圆位置关系，常以解答题形式考查一、椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若2a|F1F2|，则集合P为椭圆；(2)若2a|F1F2|，则集合P为线段；(3)若2a|F1F2|，则集合P为空集二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形
2、性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.1设P是椭圆1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10【解析】依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.【答案】D2“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必
3、要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】要使方程1表示椭圆，应满足5m0，m30且5mm3，解之得3m5且m1，“3m5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件【答案】B3椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21【解析】若a29，b24k，则c，由即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.【答案】C4已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且过点P(5,4)，则椭圆的方程为_【解析】设椭圆方程为1(ab0)，由于，故a25c2，b24c2，椭圆方程为1，P(5,4)在椭圆上代入解得c29，于是所求椭圆的方程为1.【答案】15(2013大纲
4、全国卷)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【解析】由题意知椭圆焦点在x轴上，且c1，可设C的方程为1(a1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆C的方程为1.【答案】C6(2013福建高考)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】已知F1(c,0)，F2(c,0
5、)，直线y(xc)过点F1，且斜率为，倾斜角MF1F260.MF2F1MF1F230，F1MF290，|MF1|c，|MF2|c.由椭圆定义知|MF1|MF2|cc2a，离心率e1.【答案】1考向一 148椭圆的定义与标准方程(1)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.(2)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OPAB，PF1x轴，|F1A|，求椭圆的方程【思路点拨】(1)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用，进而得解(2)注意到条件OP
6、AB，PF1x轴，必须借助点P的坐标沟通a，b，c间的联系，只需求直线OP的方程【尝试解答】(1)由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b29，因此b3.【答案】3(2)由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(c,0)，O(0,0)OPAB，kOPkAB，因此直线OP的方程为yx，代入椭圆1，得xa，由PF1x轴，知xa，从而ac，即ac，又|F1A|ac联立，得a，c，b2a2c25，所以该椭圆方程为1
7、.规律方法11.(1)求椭圆的标准方程的方法：定义法；待定系数法；轨迹方程法.,(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程.,2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|整体代换.对点训练设椭圆的焦点在x轴，过点，作圆x2y21的切线，切点分别为点A，B.若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，试求椭圆的标准方程【解】依题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，x1是圆
8、x2y21的一条切线，椭圆的右焦点为(1,0)，即c1.设点P，则kOP，A、B为圆x2y21的切点，OPAB，从而kAB2，直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)，从而b2，因此a2b2c25，故椭圆的标准方程为1.考向二 149椭圆的几何性质(1)(2013辽宁高考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A.B.C.D.(2)已知椭圆：1(0b3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|的最大值为8，则b的值是()A2 B. C. D.【思
9、路点拨】(1)利用余弦定理确定AF，进而判定ABF的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率(2)因AF2B的周长等于两个长轴长，欲使|的值最大，只需|AB|最小，利用椭圆的性质可求得b的值【尝试解答】(1)在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10282210836，则|AF|6.由|AB|2|AF|2|BF|2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c|OF|5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，有平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|AF1|8.由椭圆的性质可知|AF|AF1|142aa7，则e.(2)F1、F2为椭
10、圆1的两个焦点，|AF1|AF2|6，|BF1|BF2|6，AF2B的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|12，当|AB|最小时，|的值最大，又当ABx轴时，|AB|最小，此时|AB|，故128，b.【答案】(1)B(2)D规律方法21.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.,2.e与a，b间的关系e212.对点训练(1)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3C6D
11、8(2)(2013四川高考)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.【解析】(1)由椭圆的方程得F(1,0)，O(0,0)，设P(x，y)(2x2)为椭圆上任意一点，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22.当且仅当x2时，取得最大值6，选C.(2)设P(c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOPkAB及e可得离心率e. 由题意设P(c，y0)，将P(c，y0)代入1，得1，则yb2b2.y0或y0(舍去)，P，kOP.A(a,0)，
12、B(0，b)，kAB.又ABOP，kABkOP，bc.e.故选C.【答案】(1)C(2)C考向三 150直线与椭圆的位置关系(2013浙江高考)图851如图851，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程【思路点拨】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a，b的值；(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k)，把ABD的面积表示出来(一定是关于k的表达式)，当ABD面积取最大值时，
13、求k的值【尝试解答】(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故方程的两根x10，x2，所以|PD|.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.规律方法3直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定
14、点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.对点训练(2014安徽池州一中模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值【解】(1)由题意得，c2a2，b2a2c24.所以椭圆c的方程为：1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由，消去y得3x24mx2m2809
15、68m20，2m2x0，y1x0m点M(x0，y0)在圆x2y21上，221，即m.(2，2)，所求m的值为.规范解答之十六与椭圆有关的动点问题1个示范例1个规范练(12分)(2013安徽高考)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上【规范解答】(1)解：因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以a2(1a2)2，解得a2.故椭圆E的方程为1.3分(2)证明设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.4分由题
16、设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc).7分当x0时，y，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.9分由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)11分将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上.12分【名师寄语】1.解答本题关键在于利用条件F1PF1Q得到点P(x0，y0)满足的关系式x(2a21).2.解答时易忽视点P(x0，y0)为椭圆上第一象限内的点这一条件，导致无法求出点P所在的定直线.3.要重视直线与椭圆方程联立、直线与坐标轴的交点等问题
17、，加强通性、通法的训练.(2012陕西高考)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程【解】(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.法二A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.
