1、第七节立体几何中的向量方法考情展望1.考查利用空间向量判断、证明空间中的线面位置关系.2.考查利用向量求空间角的大小.3.以解答题为主要考查形式一、直线的方向向量和平面的法向量1直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量2平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0二、利用空间向量求
2、空间角1求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角a，b范围00.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.【答案】A6(2013大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，
3、所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.【答案】A考向一 133利用空间向量证明平行、垂直如图773所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角图773(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.【思路点拨】(1)建立空间直角坐标系，方法一：证明与平面PAD的法向量垂直；方法二：证明与平面PAD内两个不共线共面(2)取AP的中点E，利用向量证明BE平面PAD即可【尝试解答】以C为坐标原点，CB
4、所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，(1)法一令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.法二(0,1，2)，(2，4，2)，令xy，则方程组有解为，由共面向量定理知与、共面，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2,1)，(，2,1)PBA
5、B，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA，又PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.规律方法11.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.3.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.对点训练图774如图774所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为
6、等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，.DENC，又NC在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，则，B1FEF，(2)222(4)00，即B1FAF.又AFEFF
7、，B1F平面AEF.考向二 134利用空间向量求线线角和线面角(2013湖南高考)图775如图775，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值【思路点拨】(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法证明线线垂直(2)求出平面ACD1的一个法向量，再利用线面角公式求解【尝试解答】(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1
8、(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.规律方法21.利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同.同时注意根据异面直线
9、所成的角的范围得出结论.2.利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.对点训练(1)如图776所示，图776在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是_(2)如图777所示，在棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PAADDC2，AB4且ABCD，BAD90.图777求证：BCPC求PB
10、与平面PAC所成角的正弦值【解析】(1)分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB1，则B(0,0,0)，E，F，C1(0,1,1)，(0,1,1)cos，直线EF和BC1所成角的大小为60.【答案】(1)60(2)在直角梯形ABCD中，AC2，取AB中点E，连接CE，则四边形AECD为正方形，AECE2，又BEAB2，则ABC为等腰直角三角形，ACBC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，由ACPAA得BC平面PAC，PC平面PAC，所以BCPC以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系则P(0,0,2)，B(0,4,0
11、)，C(2,2,0)，(0，4,2)，(2，2,0)由(1)知即为平面PAC的一个法向量，cos，即PB与平面PAC所成角的正弦值为.考向三 135利用空间向量求二面角(2013陕西高考)如图778，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小图778【思路点拨】(1)根据题目条件建立空间直角坐标系，并用坐标来表示点和向量，再利用直线的方向向量与平面内的向量垂直证明线面垂直；(2)先求出法向量，再进一步求解两个平面所成的夹角，要注意角的范围【尝试解答】(
12、1)证明方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.方法二：A1O平面ABCD，A1OBD.又四边形ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，又BB1BDB，
13、A1C平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |cosn，|.又0，.规律方法31.利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2).2.利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.对点训练(2013课标全国卷)图779如
14、图779，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD.(2)求二面角DA1CE的正弦值【解】(1)证明连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即
15、可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1 CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.规范解答之十三利用空间向量解决开放性问题1个示范例1个规范练(12分)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，图7710点D为AC的中点，点E在线段AA1上(1)当AEEA112时，求证DEBC1；(2)是否存在点E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由【规范解答】(1)证明：连结DC1，因为ABCA1B1C1为正三棱柱，所以ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BDAC，1分又平面ABC平面ACC1A1，所以
16、BD平面ACC1A1，所以BDDE.3分因为AEEA112，AB2，AA1，所以AE，AD1，所以在RtADE中，ADE30，在RtDCC1中，C1DC60，所以EDC190，即EDDC1，所以ED平面BDC1，BC1面BDC1，所以EDBC1.6分(2)假设存在点E满足条件，设AEh.取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1平面ABC，所以DD1AD，DD1BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，E(1,0，h)，8分所以(0，0)，(1,0，h)，(1，0)，(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1(x1，y
17、1，z1)，则令z11，得n1(h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得n2(，1,0).10分cosn1，n2cos 60.解得h，故存在点E，当AE时，二面角DBEA等于60.12分【名师寄语】1.对于存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合条件的解，则存在，若不能求出符合条件的解，则不存在.2.利用空间向量的方法解立体几何中开放性问题，可以化繁为简，化难为易，降低了思维难度.已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDAD2.(1)求PC与平面PBD所成的角；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，
18、说明理由【解】如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为PDAD2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，O(1,1,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)(1)在正方形ABCD中，OCDB.因为PD平面ABCD，OC平面ABCD，所以PDOC.又因为DBPBB，所以OC平面PBD.所以CPO为PC与平面PBD所成的角因为(0,2，2)，(1,1，2)，所以cos，所以PC与平面PBD所成的角为30.(2)假设在PB上存在点E，使PC平面ADE.则.因为(2,2，2)，所以(2，2，2)，而(2,0,2)，所以(22,2，22)要PC平面ADE，即PCAE，即840，即，所以E(1,1,1)，所以存在点E且E为PB的中点时PC平面ADE.
