1、空间向量的应用 基础知识回顾与梳理1、已知点 1,1,0,0,0,1,1,1,1CBA，若平面 经过点 A，且 BC 是 的一个法向量，zyxM,是平面 内任意一点，则zyx,满足的关系式是_._BC_AMBC 与平面 内哪的一个法向量垂直？AMBC 1,1,11,1,1zyx 0111zyx1zyx2、在 直 三 棱 柱111CBAABC 中，90ACB，30BAC，2,11 AABC，M 是棱1CC 的中点，则直线AMBA,1所成角为_.135 还是？A B C A1 B1 C1 x y z O 基础知识回顾与梳理M阅读课本91页例3的解题过程，回答如下问题：（1）课本91页例3的解法好吗
2、？（2）你能改进课本91页例3的解法吗？（3）请用建系的方法写出解题过程。在什么情况下用建系的方法最好？_,cos1AMBA2245EA B C A1 B1 C1 D1 D 基础知识回顾与梳理3、在正方体1111DCBAABCD 中，E 是1BB 的中点，则直线 DE 与平面1ACD 所成角的正弦值为_.x y z O 回答下列问题后完成该题：（1）本题用几何法好做吗？与向量法比较，有什么缺点?)0,(cos2,)0,(cos,221212121eeeeeeeene,cossin935（2）直线1BB 的方向向量 e 和平 面1ACD 法 向 量 n 的 夹 角ne,与直线和平面所成角 之间有
3、何关系？x y z O 基础知识回顾与梳理4、如图，在四面体 ABCD 中，面ABC面 DBC，BDBCAB，120DBCCBA，则二面角CBDA的正切值为_.ABDC（1）图中有三条直线两两互相垂直吗？如何充分利用题设“面 ABC面 DBC”建系？（2）欲求二面角 A-BD-C 的正切值，应先求出哪两个平面法向量夹角的什么三角函数值？（3）求出平面 ABD 的一个法向量？你能直接写出平面 BDC 的一个法向量吗？（4）根据图形判断二面角 A-BD-C 的平面角是钝角还是锐角？2题 1：已知1,3,2AB，3,5,4AC，则平面 ABC 的单位法向量为_。诊断练习（1）请指出题中的关键词。（2
4、）如果先求出平面的一个法向量 n，则如何求单位法向量？（3）如果直接设单位法向量为zyxn,0，则方程组如何？10354032222zyxzyxzyxnnn066,66,36题 2在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1中，向量1BA 与向量 AC 所成的角为 诊断练习（1）对于正方体如何建系？（2）用几何法你能得出异面直线 BA 与 AC 所成角吗？x y z O A B C A1 B1 C1 D1 D xyzOCBDA1A1B1C题 3在正三棱柱111CBAABC 中，已知1AB，D 在棱1BB 上，且1BD，若 AD 与平面CCAA11所成的角为，则sin_；诊断练习xyzABCDO
5、1A1B1CH46题 4已知正四棱锥的的体积为 12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 。诊断练习A B C P D O z x y EO3（1）解决空间角的常规方法是用坐标法还是几何法？（2）用几何法你能快速得出答案吗？【变式】：本题将“侧面与底面”改为“相邻两侧面”所成二面角的余弦等于 。41要点归纳 （1）平面的法向量有两个方向无数解，通常只要写出一个，因为同一个平面的所有法向量共线。求平面的法向量是本节最基本的题型，因为无论是求线面角还是面面角都要先求平面的法向量。（2）强化坐标法是解决空间角问题的常用方法。建系时要充分利用题中或图中的垂直条件，特别是当题中或图中存在
6、三条两两互相垂直的直线时，一般用这三条直线作为坐标轴。（3）要重视图形在解题中的作用，有时画出图形后可很快得出答案，特别是填空题。对于解答题最好不要用几何法，因为用几何法要注意“一作、二证、三计算”范例导析例1、如图在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上，二面角A1DNM的大小为(1)当=900时，求AM的长；(2)当cos =时，求CM的长。66A B C A1 B1 C1 D1 D M N 范例导析x y z O A B C A1 B1 C1 D1 D M N 问题1：如何建立空间直角坐标系？问题2：能否很快写出各个点的坐标，特别是M
7、点的坐标？问题3：能否求出两个面的法向量？例 2：如图，三棱柱111ABCABC，侧面 AA1C1C 底面 ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且 AB BC，O 为 AC 的中点。（1）求证：A1O 平面 ABC；（2）求直线 A1C 与平面1A AB所成角的正弦值；（3）在 BC1 上是否存在一点 E，使得 OE/平面 A1AB，若不存在，说明理由：若存在，确定点 E 的位置。范例导析请在题中找出可以建系的条件。条件侧面 AA1C1C 底面ABC 在解题中有何作用？（2）正弦值为721（3）E（1-t,2t,t）3t=1/2 即E为BC1的中点如何求E点坐标范例导析例 3如图所示
8、，已知在矩形 ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且 PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点 P、B、D 的坐标；（2）问当实数 a 在什么范围时，BC边上能存在点 Q，使得 PQQD？（3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q使得 PQQD 时，求二面角 Q-PD-A的余弦值 QPDCBAz x y 1,0,00,0,10,0 a范例导析例 3如图所示，已知在矩形 ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且 PA=1（2）问当实数 a 在什么范围时，BC边上能存在点 Q，使得 PQQD？设0,1 yQ，根据条件PQQD 只能列出一个等式，如何处理这个等式？关于
9、 y 的一元二次方程，求a 的取值范围能用0解吗？QPDCBAz x y 1,0,00,0,10,0 a0,1 y012ayyay,0范例导析例 3如图所示，已知在矩形 ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且 PA=1（3）当 BC 边上有且仅有一个点 Q使得 PQQD 时，求二面角 Q-PD-A的余弦值 用法向量做如何判断二面角是钝角还是锐角？“BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQQD”如何处理？如何二面角的平面角求二面角 Q-PD-A 的余弦值？QPDCBAz x y 1,0,00,0,10,0 a0,1 y解题反思1、空间向量既可以进一步培养空间想象能力和逻辑推理能力，也是在高考中出现频率较高的问题。要强化用坐标法求空间角的意识。2、要注意直线方向向量和平面法向量的夹角与直线和平面所成角之间的关系，两平面法向量夹角与二面角之间的关系。3、几何法、纯向量法、坐标法是解决立体几何问题的三架“马车”，解题时要选择使用。
