1、高考资源网() 您身边的高考专家南开中学2020届高三数学统练(3)一、选择题(共9小题;共45分)1.已知集合,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:由,得,选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合,三者是不同的2.集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽略互异性而出错3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn图;对连续的数集间的运算,常利用数轴;对点集间的运算,则通过坐标平面
2、内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能另外,不可忽略空集是任何集合的子集2.已知,则“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”,“”“a1或a0”,由此能求出结果【详解】aR,则“a1”“”,“”“a1或a0”,“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合,例如“”为真,则是的充分条件2等价法:利用与非非,与非非,与非
3、非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法3集合法:若,则是的充分条件或是的必要条件;若,则是的充要条件3.函数的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数表达式中含有绝对值及对数,分别求出满足的条件【详解】要使函数有意义,应满足则,且所以的定义域为故选【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法,找出题目中的限制条件,有根号的要满足根号内大于或等于零,有对数的要满足真数位置大于零4.函数的定义域为()A. (1,4)B. 1,4)C. (,1)(4,)D. (,1(4,)【答案】A【解析】由题意,则或,当,无解;当,则定义域为,故选A5.设函数的定义域
4、为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决【详解】时,即右移1个单位,图像变为原来的2倍如图所示:当时,令,整理得:,(舍),时,成立,即,故选B【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力6.已知当 时,函数 的图象与 的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】
5、B【解析】当时, , 单调递减,且,单调递增,且 ,此时有且仅有一个交点;当时, ,在 上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解7.设函数,则的值域是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】当,即,时,或,其最小值为无最大值为,因此这个区间的值域为:.当时, 其最小值为 其最大值为 因此这
6、区间的值域为:.综合得:函数值域为: ,故选D.8.已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则( )A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果.【详解】由题意得:,又因为,分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,故选:C【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用,属于基础试题9.已知函数,函数,则函数的零点的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【详解】试题分析:由,所以所以当时,零点一个,当时,无零点,当时,零点为一个,所以零点个数为个,故选A考点:函数的零点个数的判断【方法点睛】该题属于考查函数的
7、零点个数的问题,在解题的过程中,需要先确定出函数解析式,根据题中所给的函数的解析式求得函数的解析式,从而得到关于的分段函数,通过对每一段上的解析式进行分析,求得相应的函数的零点,注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍,最后确定出该题的答案二、填空题(共6小题;共30分)10.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0,二次根号下被开方数大于等于0,即可求出答案.【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法,属于基础题.11.已知集合,若则实数的值为_【答案】1【解析】由题意,显然,所以,此时,满足题意,故答案为1点睛:(1)认清元素的属性解决集合问题时,认清
8、集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)注意元素互异性在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误(3)防范空集在解决有关等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一定要先考虑时是否成立,以防漏解12.已知则当a的值为 时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析:由题意得,当取得最大值时,和都是正数,所以,再利用基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,即当时,取得最大值.考点:基本不等式求最值13.若函数为偶函数,则 【答案】1【解析】试题分析:由函数为偶函数函数为奇函数,考点:函数的奇偶性【方法点晴】本题
9、考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想,具有一定的综合性和灵活性,属于较难题型首先利用转化思想,将函数为偶函数转化为 函数为奇函数,然后再利用特殊与一般思想,取14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(),则a的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】由题意在上单调递减,又是偶函数,则不等式可化为,则,解得15.已知是定义在上且周期为3的函数,当时,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象,可见,当时,方程在上有10个零点
10、,即函数和图象与直线在上有10个交点,由于函数的周期为3,因此直线与函数的应该是4个交点,则有【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题三、解答题(共5小题;共65分)16.中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,(1)求b的值;(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解;(2)借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.试题解析:(1)因,故1分因,故.3分由正弦定理,得.6分(2)8分10分的面积为.12分考点:诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.17.如图,在三棱锥P-ABC中,底面A
11、BC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,.(1)求证:平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值.(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【答案】(1)见解析(2);(3)AH长为4.【解析】【分析】(1)利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE,再由面面平行的性质定理得出平面BDE;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可;(3)建立空间直角坐标系,设出点的坐标,利用向量法求解即可得出线段AH的长.【详解】(1)取AB中点F,连接MF,NF,因为M为AD中点,所以,因为平面BDE,平面BDE,所以平面BDE.因为
12、N为BC中点所以,又D,E分别为AP,PC的中点,所以,则.因为平面BDE,平面BDE,所以平面BDE又,平面所以平面平面BDE平面则平面BDE;(2)因为底面ABC,.所以以A为原点,分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系因为,所以,则,设平面MEN的一个法向量为,由,得,取,得.由图可得平面CME的一个法向量为.所以.所以二面角C-EM-N的余弦值为,则正弦值为;(3)设,则,.因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为,所以,解得:.所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4.【点睛】本题主要考查了由面面平行的性质定理证明线面平行以及利
13、用向量法求面面角,由线线角求其他,属于中档题.18.已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,.(1)求和的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1),;(2),.【解析】【分析】(1)由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式;(2)用错位相减法求和【详解】(1)数列公比为,则,的公差为,首项是,则,解得(2),数列的前项和记为,得:,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查等差数列的前n项和及错位相减法求和在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时,基本量法是最基本也是最重要的方法,务必掌握,数列求和时除公式法外,有些特殊方法也需掌握:错位相减法,裂
14、项相消法,分组(并项)求和法等等19.已知函数(I)求的导函数(II)求在区间上的取值范围【答案】(I);(II).【解析】【详解】试题分析:本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力()利用求导法则及求导公式,可求得的导数;()令,解得或,进而判断函数的单调区间,结合区间端点值求解函数的取值范围试题解析:()因为,所以()由,解得或因为x(,1)1(1,)(,)0+0f(x)0又,所以f(x)在区间上的取值范围是【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用:(一)函数单调性的讨论:运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出,由的正负,
15、得出函数的单调区间;(二)函数的最值(极值)的求法:由单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数的极值或最值20.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)是否存在,使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见详解;(2) 或.【解析】【分析】(1)先求的导数,再根据的范围分情况讨论函数单调性;(2) 根据的各种范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终得出,的值.详解】(1)对求导得.所以有当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;当时,区间上单调递增;当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.(2)若在区
16、间有最大值1和最小值-1,所以若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;此时在区间上单调递增,所以,代入解得,与矛盾,所以不成立.若,区间上单调递增;在区间.所以,代入解得 .若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.即在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为. 即相减得,即,又因为,所以无解.若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.即在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为. 即相减得,解得,又因为,所以无解.若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.所以有区间上单调递减,所以区间上最大值为,最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题,题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性,最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大,由计算量补充- 17 - 版权所有高考资源网