1、高考资源网（） 您身边的高考专家南开中学2020届高三数学统练（3）一、选择题（共9小题；共45分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，三者是不同的2.集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面
2、内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽略空集是任何集合的子集2.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非
3、非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件【详解】要使函数有意义，应满足则，且所以的定义域为故选【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零4.函数的定义域为()A. (1，4)B. 1，4)C. (，1)(4，)D. (，1(4，)【答案】A【解析】由题意，则或，当，无解；当，则定义域为，故选A5.设函数的定义域
4、为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决【详解】时，即右移1个单位，图像变为原来的2倍如图所示：当时，令，整理得：，（舍），时，成立，即，故选B【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力6.已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】
5、B【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解7.设函数，则的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】当,即,时,或,其最小值为无最大值为,因此这个区间的值域为:.当时, 其最小值为 其最大值为 因此这
6、区间的值域为:.综合得:函数值域为: ，故选D.8.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果.【详解】由题意得：，又因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题9.已知函数，函数，则函数的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【详解】试题分析：由，所以所以当时，零点一个，当时，无零点，当时，零点为一个，所以零点个数为个，故选A考点：函数的零点个数的判断【方法点睛】该题属于考查函数的
7、零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数的解析式求得函数的解析式，从而得到关于的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案二、填空题（共6小题；共30分）10.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.11.已知集合，若则实数的值为_【答案】1【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1点睛:（1）认清元素的属性解决集合问题时，认清
8、集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件（2）注意元素互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误（3）防范空集在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解12.已知则当a的值为 时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.考点：基本不等式求最值13.若函数为偶函数，则 【答案】1【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，考点：函数的奇偶性【方法点晴】本题
9、考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）f（），则a的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，解得15.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，方程在上有10个零点
10、，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题三、解答题（共5小题；共65分）16.中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，(1)求b的值；(2)求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.试题解析：（1）因，故1分因，故.3分由正弦定理，得.6分（2）8分10分的面积为.12分考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.17.如图，在三棱锥P-ABC中，底面A
11、BC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，.（1）求证：平面BDE；（2）求二面角C-EM-N的正弦值.（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】（1）见解析（2）；（3）AH长为4.【解析】【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE，再由面面平行的性质定理得出平面BDE；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH的长.【详解】（1）取AB中点F，连接MF，NF，因为M为AD中点，所以，因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.因为
12、N为BC中点所以，又D，E分别为AP，PC的中点，所以，则.因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE又，平面所以平面平面BDE平面则平面BDE；（2）因为底面ABC，.所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系因为，所以，则，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取，得.由图可得平面CME的一个法向量为.所以.所以二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；（3）设，则，.因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为，所以，解得：.所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.【点睛】本题主要考查了由面面平行的性质定理证明线面平行以及利
13、用向量法求面面角，由线线角求其他，属于中档题.18.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；（2）用错位相减法求和【详解】（1）数列公比为，则，的公差为，首项是，则，解得（2），数列的前项和记为，得：，【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂
14、项相消法，分组（并项）求和法等等19.已知函数（I）求的导函数（II）求在区间上的取值范围【答案】（I）；（II）.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力（）利用求导法则及求导公式，可求得的导数；（）令，解得或，进而判断函数的单调区间，结合区间端点值求解函数的取值范围试题解析：（）因为，所以（）由，解得或因为x（，1）1（1，）（，）0+0f（x）0又，所以f（x）在区间上的取值范围是【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，
15、得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 或.【解析】【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区
16、间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，由计算量补充- 17 - 版权所有高考资源网