1、考点规范练57不等式选讲基础巩固1.(2017山西吕梁二模)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)如果xR,使得f(x)1,n1,且对于tT,不等式log3mlog3nt恒成立,试求m+n的最小值.5.已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.能力提升6.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:2|a+b|5;(2)若f(x)a|x+3|,求a的最小值.参考
2、答案考点规范练57不等式选讲1.解(1)若a=-1,f(x)3,即为|x-1|+|x+1|3,当x-1时,1-x-x-13,即有x-32;当-1x1时,1-x+x+1=23不成立;当x1时,x-1+x+1=2x3,解得x32.综上可得,f(x)3的解集为-,-3232,+;(2)xR,使得f(x)f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|2,即-2a-12,解得-1a3.则实数a的取值范围为(-1,3).2.解(1)f(x)=x-52+x+12=-2x+2,x52.由f(x)4得x52,2x
3、-24.解得x-1或x3,所以不等式的解集为x|x1或x3.(2)由绝对值的性质得f(x)=x-52+|x-a|x-52-(x-a)=a-52,所以f(x)的最小值为a-52,从而a-52a,解得a54,因此a的最大值为54.3.解(1)当a=1时,由f(x)8得|3x+1|+3|x-1|8,当x-13时,-(3x+1)-3(x-1)8,x-1,x-1;当-13x1,n1,所以log3m0,log3n0.又1log3mlog3nlog3m+log3n22=log3(mn)24(当log3m=log3n时取“=”),所以log3(mn)2,mn9,所以m+n2mn6,即m+n的最小值为6(此时m
4、=n=3).5.(1)解f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm.又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13ca1a+2b12b+3c13c2=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c9.6.(1)解f(x)=|x+1|+|x-1|=-2x,x1.当x-1时,由f(x)=-2x4,得-2x-1;当-1x1时,f(x)=21时,由f(x)=2x4,得1x2.故不等式f(x)4的
5、解集为(-2,2),即M=(-2,2).(2)证明当a,bM,即-2a2,-2b2,4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)0,4(a+b)2(4+ab)2,2|a+b|4+ab|.7.解(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当x-2时,x-4-2,即x2,故x;当-2x1时,3x-2,即x-23,故-23x1;当x1时,-x+4-2,即x6,故1x6;综上,不等式f(x)-2的解集为x-23x6.(2)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x1,-x+4,x1,函数f(x)的图象如图所示.令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a2,即a-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)x-a.往下平移直线y=x-a时,联立y=-x+4,y=x-a,解得x=2+a2,当a2+a2,即a4时,对任意xa,+),-x+4x-a.综上可知,a的取值范围为a-2或a4.8.解(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)5的解集为xx2.(2)由f(x)a|x+3|得a|x+1|x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|2|x+1|得|x+1|x-1|+|x+3|12,即a12(当且仅当x1或x-3时等号成立).故a的最小值为12.
