1、山东省青岛市胶州市2019-2020学年高二数学下学期期中学业水平检测试题（含解析）本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个物体的运动方程为其中的
2、单位是米，的单位是秒， 那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）A. 米/秒B. 米/秒C. 米/秒D. 米/秒【答案】B【解析】试题分析：时，所以瞬时速度为米/秒考点：导数的实际引用2.命题“函数是偶函数”的否定可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】该命题为全称命题，其否定是特称命题，除了将量词进行变化以外，还要将结论进行否定，最后用数学符号表示即可.【详解】命题“”的否定为：“存在某个函数不是偶函数”，即：，故选：A.【点睛】本题主要考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式，属于基础题.3.在下列区间上函数单调递减的是（ ）A. B. C. D
3、. 【答案】D【解析】【分析】先求定义域，再令导数小于解不等式，取交集即可.【详解】函数的定义域为，令，解得，函数单调递减区间为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，注意定义域是解决问题的关键，是中档题.4.若复数，为虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出复数为纯虚数a的取值范围，即可得解.【详解】复数为纯虚数，则，且，解得，“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数为纯虚数a的取值范围，是基础题
4、.5.已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减，然后逐项分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在区间上的单调性，结合排除法可得出正确选项.【详解】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减.对于A选项，函数的定义域为，该函数为奇函数，当时，.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减，合乎题意；对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；对于C选项，函数的定义域为，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，当时，该函数在区间上单调递增，不合乎题意.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别
5、，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“点或正面向上”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出所有的基本事件，再结果中含有“点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.【详解】分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上.共个基本事件.含有“点或正面向上”有正面向上，反面向
6、上，正面向上，正面向上， 正面向上， 正面向上，正面向上，共个基本事件，结果中含有“点或正面向上”的概率为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.7.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.估算月经济损失的平均数为，中位数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图计算出，再计算平均数和中位数得到答案.【详解】根据题意得：，解得.，.故选：.【点睛】本题主要考查的是频率分布直方图，样本的数字
7、特征，考查运算能力以及分析问题的能力，是中档题.8.在直角坐标系中，曲线与圆的公共点个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】【分析】对函数求导，求出其最小值后即可判定与圆的公共点个数.【详解】由，得，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，取得极小值也是最小值，曲线与圆的公共点个数为.故选：.【点睛】本题主要考查的是曲线与圆相交，考查利用导数判定曲线与圆的位置关系，考查利用导数判定曲线的单调性和最值，是中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.随机
8、变量服从正态分布，则下述正确的是（ ）A. B. C D. 【答案】AC【解析】【分析】利用随机变量正态分布的性质逐一判断即可.【详解】由随机变量服从正态分布，所以，所以，故A正确；B错误；根据正态分布密度曲线的对称性，即所以，故C正确；D错误；故选：AC【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.10.若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）A. B. 的实部是C. 的虚部是D. 复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABD【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，
9、故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.11.某市坚持农业与旅游融合发展，着力做好旅游各要素，完善旅游业态，提升旅游接待能力.为了给游客提供更好的服务，旅游部门需要了解游客人数的变化规律，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客
10、量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】BCD【解析】【分析】利用折线图的性质直接求解.【详解】由折线图得： 在中，月接待游客量逐月波动，故错误；在中，月接待游客量呈增长趋势，则年接待游客量逐年增加，故正确；在中，从图中可以看出各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故正确；在中，从折线图走势看，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，掌握折线图所表达的正确信息、观察折线图，提取有用信息是解题的关键，是基础题.12.关于的方程在上有个解.则实数可以等于（ ）A. B
11、. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】将题意转化为与图象在上有个交点，根据图像可得实数的取值范围，即可判断满足条件的选项.【详解】在上有个解，即在上有个解，转化为与图象在上有个交点.令，得，时，在上单调递增，时，在上单调递减.如图所示：由图像可知，满足题意的是.故选：.【点睛】本题主要考查的是方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力，是中档题.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知（其中是虚数单位，），则_.【答案】；【解析】【分析】将化简后，利用复数相等得到，即可得到.【详解】，
12、即，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是复数的乘、除运算，以及复数相等的含义，考查学生的计算能力，是基础题.14.若“，”是假命题，则实数的取值范围是_.【答案】；【解析】【分析】利用命题为假命题，得到其命题得否定为真命题，即在上恒成立，分离参数，利用基本题不等式求出最小值，即可得出结论.【详解】“，”是假命题，为真命题，即在上恒成立，当时，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为：.【点睛】本题考查由存在性命题的真假求参数的取值范围，利用等价转换思想，转化恒成立问题，应用基本不等式求最值是解题的关键，考查的是计算能力，是中档题.15.已知是的导函数（），则_.【答案】；【解析】【分析】求出的导
13、函数，令，根据，即可求得.【详解】，又，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是基本初等函数的导数以及导数的运算，考查的是学生的分析和计算能力，是基础题.16.若函数不是单调函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】转化为函数有极值点，利用导数求解.【详解】因为函数不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有零点，即.【点睛】本题考查函数单调性与极值，考查基本分析与求解能力，属中档题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，已知长方形的周长为，其中点分别为的中点，将平面沿直线向上折起使得平面平面，连接，得到三棱柱，设，记三棱柱体积为. （1）求函数的解析式；
14、（2）求函数的最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意和三棱柱的体积公式即可得到函数的解析式；（2）由（1）求出函数的导函数，令，再根据导函数的正负得函数得单调性，即可得到函数的最大值.【详解】（1）由题知：，因为，长方形的周长为，所以，所以，；（2）由（1）知：，所以令，解得，当在单调递增；当在单调递减；所以.【点睛】本题主要考查的是函数的应用，利用导数研究函数在定义域内的最值，以及棱柱的体积公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，考查学生的计算能力，是中档题.18.已知函数恒过定点.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，求在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析
15、】【分析】（1）先求出定点，然后求导，求出，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而解决问题；（2）将代入后求导，令导数为零，根据导数正负得导数的单调性，即可求得在上的最小值.【详解】（1）由题知：所以定点，若，所以，所以在点处的切线方程：，即；（2）若，所以，令，解得，当在单调递增，当在单调递减，又因，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查的是利用导数的几何意义求在点处的切线方程，利用导数求函数在给定区间的最值，考查学生的计算能力，是中档题.19.已知函数，.（1）当时，证明：在上单调递增；（2）当时，讨论极值点.【答案】（1）证明见解析；（2）当时，无极值点；当时，有一个极小值点，无极大
16、值点【解析】【分析】（1）将代入并求导，可得导函数大于等于零恒成立，即可证明；（2）将代入求导，对进行讨论，再根据极值点的定义即可求得的极值点.【详解】（1）由题知：，所以，因为，所以，又因为，所以，所以在上单调递增；（2）由题知：，所以，若，则在上单调递增，无极值点；若，由，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以的极小值点为.综上，当时，无极值点；当时，有一个极小值点，无极大值点.【点睛】本题主要考查的是利用导数证明函数的单调性，利用导数求函数的极值，分类讨论思想的应用，考查学生的计算能力，是中档题.20.数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和
17、社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于分则认为其喜欢数学命题，当评分低于分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：.（2）在某次命题大赛中，同学要进行轮命题，其在每轮命题成功的概率均为，各轮命题相互独立，若该同学在轮命题中恰有次成功的概率为，记该同学在轮命题中的成功次数为，求.【答案】（1）没有的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关（2）【解析
18、】【分析】（1）由茎叶图可得列联表，再利用所给的公式计算并判断；（2）根据已知条件知，根据二项分布求得，进而可求得.【详解】（1）由题知：，则，所以没有的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关；（2）由题知：，依据二项分布知：，所以，令，当在单调递减；当在单调递增；因此，所以，所以.【点睛】本题主要考查的是茎叶图、利用二项分布求数学期望，考查学生的运算能力、逻辑思维能力，考查学生的应用意识，考查的核心素养是数学运算、数据分析，是中档题.21.近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出
19、一周内每一天使用刷脸支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：（1）在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第天使用刷脸支付的人次；（3）已知一瓶该饮料售价为元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有使用扫码支付，使用扫码支付享受折优惠；有使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为，享受折优
20、惠的概率为.根据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.参考数据：其中，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.【答案】（1）适宜（2），活动推出第天使用刷脸支付的人次为（3）平均花费为（元）【解析】【分析】（1）直接根据统计数据表判断，适宜；（2）把，两边同时取常用对数，则与两者线性相关，根据已知条件求出关与的线性回归方程，进而转化为关与的线性回归方程；（3）记购买一瓶该饮料的花费为（元），则的取值可能为：，求出的分布，进而求出的期望.【详解】（1）直接根据统计数据表判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2）因为，两边同时取常用对数得：
21、，设所以，因为，所以，把样本中心点代入，得：，所以，所以关于的回归方程式：，把代入上式，所以活动推出第天使用刷脸支付的人次为；（3）记购买一瓶该饮料的花费为（元），则的取值可能为：，分布列为：因为，所以估计购买一瓶该饮料的平均花费为（元）.【点睛】本题主要考查的是用样本估计总体和变量的相关性，散点图的应用，以及分布列和数学期望的求解，考查学生的观察能力、分析能力、计算能力以及解决问题的能力，是中档题.22.已知函数，.（1）若，证明：；（2）若，有且只有个零点，求实数的取值范围；（3）若，求正整数的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）2【解析】【分析】（1）将代入，求导后根据单调性求
22、出函数的最大值，即可证明；（2）由有且只有个零点，对分类讨论，得的极大值大于，得出实数的取值范围，再根据（1）验证由有且只有个零点即可；（3）构造函数，根据，求出函数的最大值，再代入，即可得到正整数的最小值【详解】（1）由题知，所以，当时，上单调递增；当时，在上单调递减；所以；（2）因为，当时，在上单调递增，不可能有个零点，当时，令，解得，所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以，若只有个零点，则，解得：，由（1）知：，所以，令，解得：或，所以，存在，满足；存在，满足；所以在和上个恰有个零点，符合题意，综上，所求实数的取值范围为；（3）令，所以，.令，得，所以当时，当时，.因此函数在上是增函数，在是减函数，所以，令，因为，又因为在上是减函数，所以当时，所以整数的最小值为.【点睛】本题主要考查的是导数的计算，利用导数研究最值，利用导数研究函数零点，导数在研究函数中的应用以及不等关系与不等式恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.
