1、选修44坐标系与参数方程第一节坐标系A级基础过关|固根基|1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则所以4x29y236，即1.所以曲线C在伸缩变换后得到椭圆1，其焦点坐标为(，0)2点P是曲线C1：(x2)2y24上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求MA
2、B的面积解：(1)由曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24，可得曲线C1的极坐标方程为4cos .设Q(，)，则P，则有4cos4sin .所以曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)点M到射线(0)的距离d2sin，|AB|BA42(1)，则SMAB|AB|d2(1)3.3(2019年全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在C上，所以，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|c
3、os 2.设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，APOM，故的取值范围是.所以P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.4(2019届福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若AOB，求AOB的面积的最大值解：(1)曲线C的普通方
4、程为(x)2(y1)24，即x2y22x2y0，所以，曲线C的极坐标方程为22cos 2sin 0，即4sin.(2)不妨设A(1，)，B，则14sin，24sin，AOB的面积S|OA|OB|sin12sin4sinsin2cos 23.所以，当0时，AOB的面积取最大值3.B级素养提升|练能力|5.(2019届湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为2，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OAOB，求的值解：(1)由2，得2cos292sin29，将xcos ，ysin 代入得到曲线C的直角坐标方程是
5、y21.(2)因为2，所以sin2，由OAOB，设A(1，)，则点B的坐标可设为，所以sin2cos21.6在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 1.(1)求椭圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点P的极坐标为，直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)由题意知椭圆C的普通方程为1，将代入整理得222sin260，椭圆C的极坐标方程为222sin260.由得直线l的直角坐标方程为xy1.(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，点P的直角坐标为P(0，1)，
6、它在直线l上设直线l的参数方程为(t为参数)，代入1，得236，化简得5t26t60，所以t1t2，t1t2，由直线参数方程的几何意义可得|PA|PB|t1|t2|t1t2|.7(2018年全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin ，得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心在A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射
7、线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点；当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.8(2019届河南名校联盟4月联考)在
8、平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标解：(1)圆C的直角坐标方程为x2(y1)21，即x2y22y0，因为2x2y2，sin y，所以圆C的极坐标方程为22sin ，即2sin .直线l的极坐标方程为(cos sin )5，即cos sin 5，因为cos x，sin y，所以直线l的直角坐标方程为yx5.(2)曲线C：x2(y1)21是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆设圆上点A(x0，y0)到直线l：yx5的距离最短，则圆C在点A处的切线与直线l：yx5平行，即直线CA与l的斜率的乘积等于1，即()1.因为点A在圆上，所以x(y01)21，联立可解得x0，y0或x0，y0.所以点A的坐标为或.又由于圆上点A到直线l：yx5的距离最小，所以点A的坐标为，点A的极径为，极角满足tan 且为第一象限角，则可取.所以点A的极坐标为.
