1、天津市部分区2020年高三质量调查试卷(二)一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出集合，再利用交集的定义可求得集合.【详解】集合，,，.故选：B.【点睛】本题考查交集与并集的运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知命题，则命题的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3.已知为虚数单位，若复
2、数的实部为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得，进而可得，求得后，由复数模的概念即可得解.【详解】由题意，所以复数的实部为，解得，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.4.函数是定义在上的奇函数，且当时，(为常数)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，可得当时，利用即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，解得，当时，.故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5.若，则（ ）A. B. C. D
3、. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，进而可得，代入即可得解.【详解】，又，即，.故选：A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题.6.设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合等差数列前n项和公式得，解得，再由等差数列的通项公式即可得解.【详解】设等差数列首项为，公差为，解得，.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知，则，的大小关系是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得
4、解.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.8.若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.【详解】当时，又，函数()在区间上单调递减，即，解得；令，则，即，由，可得当且仅当时，又函数()在区间上存在零点，解得；综上，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.9.已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数
5、的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意作出函数图象，转化条件为要使直线与函数的图象有三个交点，分别考虑直线与函数在y轴右侧、左侧的图象的交点个数，即可得解.【详解】由题意作出函数的图象，如图： 要使关于的方程有个互异的实数根，则要使直线与函数的图象有三个交点，易知点，由图象可知，当时，不合题意；当时，若直线与函数在y轴右侧的图象相切，设切点为，由可得，解得，切点恰为点，所以当时，直线与函数在y轴右侧的图象只有一个交点；若直线与函数在y轴左侧的图象相切，设切点为，由，所以，解得（舍去）或，当直线过点时，所以当时，直线与函数在y轴左侧的图象有两个交点；综上，要
6、使直线与函数的图象有三个交点，则.即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了导数几何意义的应用、导数的计算与数形结合思想，属于中档题.二填空题：本大题共6小题， 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，由此可得出该双曲线的方程.【详解】由题意可得，解得，因此，双曲线的方程是.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，根据题意建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.11.若的展开式中
7、的常数项为，则实数_.【答案】【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案【详解】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据二项式定理中常数项求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.已知点P在直线上，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：点代入直线得，所以最小值为考点：均值不等式求最值13.在中，内角，所对的边分别为，.若，则_.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理将边转化为角得到，再利用三角恒等变换化简得到，根据，求得角，从而得解.【详解】因为，所以，即，即，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换及解三角形，还
8、考查了运算求解的能力，属于中档题.14.如图，点是长方体的中心，分别为其所在棱的中点，且.记棱的长度为，点到平面的距离为，则_；若该长方体的体积为，则四棱锥的体积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据长方体，得到平面，则 A到平面距离为，由点是长方体的中心，得到到平面的距离.根据长方体的体积为，求得，再由，分别为其所在棱的中点，得到，然后利用锥体体积公式求解.【详解】在长方体中，平面，所以A到平面的距离为，因为点是长方体的中心，所以到平面的距离为所以因为长方体的体积为，所以，所以，因为，分别为其所在棱的中点，所以，所以四棱锥的体积为.故答案为：210【点睛】本题主要考查长方体
9、的几何特征以及点到面的距离，柱体、锥体的体积，还考查了空间想象，运算求解的能力，属于中档题.15.在梯形中，若点在线段上，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据，建立平面直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为，所以，设，所以所以，所以，所以，当时，的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明推证过程或演算步骤.16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养
10、.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文数学英语三个兴趣小组学生人数分别为10人10人15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查.记表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量的分
11、布列和数学期望；设为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件发生的概率.【答案】（1）语文数学英语三个兴趣小组中分别抽取人人人.（2）分布列答案见解析，数学期望，概率为.【解析】【分析】（1）由语文数学英语三个兴趣小组的人数之比为，利用分层抽样方法确定抽取的人数.（2）根据抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.得到随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数可能人，再求得相应概率，列出分布列，再求期望.设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.有，且与互斥，
12、根据利用互斥事件的概率求解.【详解】（1）因为数学英语三个兴趣小组学生人数分别为10人10人15人，所以语文数学英语三个兴趣小组的人数之比为，因此，采用分层抽样方法从中抽取人，应从语文数学英语三个兴趣小组中分别抽取人人人. （2）依题意，得随机变量的所有可能取值为.所以，. 因此，所求随机变量的分布列为.依题意，设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.则有，且与互斥.由知，所以 故事件发生的概率为.【点睛】本题主要考查分层抽样，离散型随机变量的分布列与期望以及互斥事件的概率，还考查了运算求解的能力
13、，属于中档题.17.已知各项均为正数的数列，满足().（1）求证：为等比数列，并写出其通项公式；（2）设()，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，.（2）【解析】【分析】（1）由可得，然后两式相减得，然后求出即可（2）利用错位相减法求出即可.【详解】（1）因为()， 所以，当时，有， -得，即，所以(，).所以数列是公比为的等比数列. 又由得，所以. 所以.（2）由题意及（1）得 所以，所以， -，得 ， 故.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与
14、平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）.【解析】【分析】（1）首先利用条件证明，然后结合即可证明平面（2）由平面可得是直线与平面所成的角，然后算出，然后以点为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量即可.【详解】（1）证明：因为，所以.又因为，所以是等腰直角三角形，所以，. 又因为，所以，即.因为底面，平面，所以.又，所以平面. （2）在中， ，所以.由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角，则. 在中， ，所以. 以点为原点，分别以的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系. 则.因为为的中点，所以，所以. 设平面法向量为，则
15、即令，得.所以. 由平面，则为平面的一个法向量.所以.故所求二面角的余弦值为.【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.19.已知，分别是椭圆的左右焦点，其焦距为，过的直线与交于，两点，且的周长是.（1）求的方程；（2）若是上的动点，从点(是坐标系原点)向圆作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，.（）求证：为定值；（）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）证明见解析；是，定值为.【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据其焦距为，求得，直线过的焦点，且的周长是，可得，即可求得的方程；（2）（）设直线：，直线：，直
16、线与圆相切，可得，化简得；同理可得.根据是一元二次方程，的两实数根，即可求得的值；（）设.联立方程组，根据韦达定理和已知条件可得：的值；【详解】（1）设椭圆的焦距为()，则，故：. 直线过焦点，且的周长是，. .椭圆的方程是. （2）（）从点(是坐标系原点)向圆作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，直线：，直线：.直线与圆相切，根据点到直线距离公式可得：化简得；同理可得.是一元二次方程的两实数根， 则有 又点在上，即，(定值). （）是定值，且定值为. 理由如下：设.联立方程组 解得 . 同理可得. 由（）知，(定值).【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和椭圆中的定值
17、问题，解题关键是掌握是圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决20.已知函数，函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数()，讨论的单调性；（3）若对任意，恒有关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）【解析】【分析】（1）由函数，求导得到， 再求得，写出切线方程.（2）易得，由在上恒成立，根据，分，讨论求解. （3）根据对任意，恒有关于的不等式成立，转化为，对任意恒成立，设(，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）因为所以， 所以. 因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为. （2）易知，函数的定义域为，且有. 因为在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增. 当时，由，即，解得；由，即，解得.所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增. （3）因为对任意，恒有关于的不等式成立，所以 ，对任意恒成立，设().易得，.令，所以.显然，当时，恒成立.所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立. 所以，函数在单调递减.所以有，所以.故所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
