1、第二章2.32.3.2第1课时一、选择题1(2016山东烟台高二期末测试)若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y2x,则该双曲线的离心率是()A.BCD答案A解析由题意得2,4,a24b24(c2a2)4c24a2,5a24c2,()2,离心率e.2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()AB4C4D答案A解析双曲线方程化为标准形式:y21,则有:a21,b2,由题设条件知,2,m.3双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()AmBm1Cm1Dm2答案C解析双曲线离心率e,所以m1,选C.4(2015安徽理,4)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21By
2、21C.x21Dy21答案C解析由题意,选项A、B的焦点在x轴,故排除A、B;C项的渐近线方程为x20,即y2x,故选C.5(2016天津理,6)已知双曲线1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.1B1C.1D1答案D解析根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx,圆的方程为x2y24,不妨设交点A在第一象限,由yx,x2y24得xA,yA,故四边形ABCD的面积为4xAyA2b,解得b212,故所求的双曲线方程为1,故选D.6(2014山东理,10)
3、已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案A解析e,e,ee1()4,双曲线的渐近线方程为yx.二、填空题7(2015全国卷文,15)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_.答案y21解析根据双曲线渐近线方程为yx,可设双曲线的方程y2m,把(4,)代入y2m得m1.所以双曲线的方程为y21.8(2015浙江理,9)双曲线y21的焦距是_,渐近线方程是_.答案2yx解析由题意得:a,b1,c,焦距为2c2,渐近线方程为yxx.三、解答题9双曲线与圆x2y217有公
4、共点A(4,1),圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程.解析点A与圆心O连线的斜率为,过A的切线的斜率为4.双曲线的渐近线方程为y4x.设双曲线方程为x2.点A(4,1)在双曲线上,16,.双曲线的标准方程为1.10设双曲线1(0ab)的半焦距为c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.解析由l过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bxayab0.由原点到l的距离为c得,c.将b代入平方后整理得,16()21630.解关于的一元二次方程得或.e,e或e2.因0a,所以应舍去e,故所求离心率e2.一、选择题1已知双曲线1(b0)的左
5、、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在双曲线上,则()A12B2C0D4答案C解析由渐近线方程为yx知,1,b,点P(,y0)在双曲线上,y01,y01时,P(,1),F1(2,0)、F2(2,0),0,y01时,P(,1),0,故选C.2已知F1、F2为双曲线的焦点,以F1F2为边作正三角形,若双曲线恰好平分另外两边,则双曲线的离心率为()A1B1C.D答案A解析设以F1F2为边的正三角形与双曲线右支交于点M,在RtMF1F2中可得,|F1F2|2c,|MF1|c,|MF2|c,由双曲线的定义有|MF1|MF2|2a,即cc2a,所以双曲线的离心率e1,故选A.3
6、(2015四川理,5)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|()A.B2C6D4答案D解析双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x2,渐近线方程为x20,将x2代入x20得:y212,y2 ,|AB|4.选D.4(2016全国卷理,11)已知F1,F2是双曲线E:1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()A.BC.D2答案A解析设F1(c,0),将xc代入双曲线方程,得1,所以1,所以y.因为sinMF2F1,所以tanMF2F1,所以e2e10,所以e.故选A.二、填空题5(2015黑龙江
7、哈师大附中高二期中测试)已知椭圆1(m0,n0)和双曲线1(m0,n0)有公共的焦点,则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析由题意得3m25n22m23n2,m28n2,m0,n0,.双曲线的渐近线方程为yxxx.6从双曲线1的左焦点F引圆x2y29的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|MT|_.答案1解析设F2为椭圆右焦点,则|OM|PF2|,|PF|PF2|6.FT是O的切线,|FT|4,|MT|MF|FT|PF|4,|MO|MT|PF2|PF|44(|PF|PF2|)1.三、解答题7若F1、F2是双曲线1的左、右两个焦点,点P在双曲线
8、上,且|PF1|PF2|32,求F1PF2的大小.解析由双曲线的方程,知a3,b4,所以c5.由双曲线的定义得,|PF1|PF2|2a6.上式两边平方得,|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|100,由余弦定理得,cosF1PF20,所以F1PF290.8已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F(2,0)(1)求双曲线方程;(2)设Q是双曲线上一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若|2|,求直线l的方程解析(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0,b0),则有e2,c2,a1,则b,所求的双曲线方程为x21.(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0),l的斜率一定存在,设为k,则l:yk(x2)令x0得M(0,2k),|2|且M、Q、F共线于l,2或2,当2时,xQ,yQk,Q,Q在双曲线x21上,1,k,当2时,同理求得Q(4,2k)代入双曲线方程得,161,k,则所求的直线l的方程为:y(x2)或y(x2)