1、第2课时函数的单调性与最值1理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性2理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值对应学生用书P12【梳理自测】一、函数的单调性1下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)e2 Df(x)ln(x1)2函数yx22x3(x0)的单调增区间是()A(0，) B(1，)C(，1) D(，3答案：1.A2.A以上题目主要考查了以下内容：(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D
2、上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间二、函数的最值1(教材改编)f(x)x22x(x2，4)的最小值为_，最大值为_2(教材改编)函数f(x)在1，2的最大值为_，最小值为_答案：1.182.1以上题目主要考查了以下内容：前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件 对于任意xI，都有f(x)M； 存在x
3、0I，使得f(x0)M 对于任意xI，都有f(x)M 存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值【指点迷津】1函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调如yx2在(，)上不具有单调性 .2f(x)在区间a，b上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为a，b的含义不同3函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域4单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结如函数y的单调减区间为(
4、，0)(0，)是错误的对应学生用书P12考向一判断函数的单调性判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并证明【审题视点】利用单调性定义证明【典例精讲】当a0时，函数yf(x)在(1，)上单调递增当a0时，函数yf(x)在(1，)上单调递减证明如下：设1x1x2，则f(x1)f(x2)1x1x2，x1x20，x110，x210.当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递增同理当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递减【类题通法】(1)判定(或证明)函数单调性的主要方法有：能画出图象的函数，用图象法能作
5、差变形的用定义法能求导的函数用导数法由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法(2)判断函数的单调性应先求定义域；(3)用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值作差变形判号定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等1试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性解析：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aaa当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递增考向二求函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)函数f(x
6、)x(a0)(x0)；(2)函数y.【审题视点】(1)用定义法，(2)用复合函数法【典例精讲】(1)设x1x2，f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)(x1x2)当0x1x2时，x1x2a，f(x1)f(x2)0.在(0，)上，f(x)是减函数当x1x2时，x1x2a，f(x1)f(x2)0，f(x)在(，)上是增函数，f(x)x(a0)的增区间为(，)，减区间为(0，)(2)令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)【类题通法】求单调
7、区间的方法(首先求定义域)1定义法：注意证明函数单调性只能用定义和导数法2图象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间3导数法：f(x)0的解的区间为增区间；f(x)0的解的区间为减区间4复合函数法：按复合函数“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间2(1)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间为_(2)函数yx|1x|的单调增区间为_解析：(1)函数f(x)的定义域为，令t2x1(t0)，因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数f(x)log5(2x1)的单调增区间为.(2)yx|1x|作出该函数的图象如图所示由图象可知，该函数的单调增区间是(，1，无
8、单调减区间答案：(1)(2)(，1考向三利用函数的单调性解不等式(2014山东济宁二模)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上递增，f0，则满足f(logx)0的x的取值范围是()A(0，)B.(2，)C. D.【审题视点】根据单调性剥去“f”符号转化为对数不等式【典例精讲】由f(x)f(x)f(|x|)得f(|logx|)f，于是|logx|，解出答案，可知选B.【答案】B【类题通法】根据函数yf(x)的单调性，由x1、x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小反之知f(x1)与f(x2)的大小，可得x1与x2的大小，即剥去“f”符号解不等式3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，
9、x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：选A.由题意得，在0，)上，0，故f(x)在0，)上单调递减，且满足nN*时，f(2)f(2)，3210，得f(3)f(2)f(1)，故选A.考向四函数的最值及应用(2014昆明模拟)已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围【审题视点】(1)利用单调性求最小值(2)当x1，)时，f(x)min0，求a.【典例精讲】(1)当a，f(x)x2，f(x)1，当x1，)
10、时，f(x)0恒成立，f(x)在1，)上是增函数，当x1时，f(x)取最小值，f(1).故f(x)min.(2)要使f(x)0，x1，)恒成立，即x22xa0，x1，)恒成立设g(x)x22xa(x1)2a1，当x1，)时，g(x)min3a.3a0，a3即可，a(3，)【类题通法】1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5
11、)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值2恒成立问题的解法(1)mf(x)恒成立mf(x)max；(2)mf(x)恒成立mf(x)min.4(2014荆州市高三质量检测)函数f(x)|x33x2t|，x0，4的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时，g(t)的最小值为_解析：令g(x)x33x2t，则g(x)3x26x，令g(x)0，则x0或x2，在0，2上g(x)为减函数，在2，4上g(x)为增函数，故f(x)的最大值g(t)max|g(0)|，|g(2)|，|g(4)|，又|g(0)|t|，|g(2)|4t|，|g(4)|16t|，在同一坐标系中分别作
12、出它们的图象，由图象可知，在y16t(t16)与y4t(t4)的交点处，g(t)取得最小值，由16t4t，得2t12，t6，g(t)min10.答案：10对应学生用书P14 求函数在闭区间上最值和单调性应用(2014郑州市高三质检)已知函数f(x)ln x.(1)当a时，求f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)若函数g(x)f(x)x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围【审题视点】(1)利用求导法求极值再与f(1)，f(e)比较得最值(2)g(x)在1，e上递增可转化为g(x)0在1，e上恒成立，求解a.【思维流程】a时，化简f(x)求导，并求出f(x)0的根判断单调性，确定极值点求极
13、值，并确定最值确定g(x)并求导转化题意，求解g(x)0恒成立问题利用二次函数求a的范围【规范解答】(1)当a时，f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2，当x1，2)时，f(x)0，故f(x)在1，2)上单调递减；当x(2，e时，f(x)0，故f(x)在(2，e上单调递增，f(x)在区间1，e上有唯一的极小值点，故f(x)minf(x)极小值f(2)ln 21.3分又f(1)0，f(e)0.f(x)在区间1，e上的最大值f(x)maxf(1)0.5分综上可知，函数f(x)在1，e上的最大值是0，最小值是ln 21.6分(2)g(x)f(x)xln xx，g(x)(a0)，设(x)ax
14、24ax4，由题意知，只需(x)0在1，e上恒成立即可满足题意.9分a0，函数(x)的图象的对称轴为x2，只需(1)3a40，即a即可故正实数a的取值范围为.12分【规范建议】(1)区分极值与最值(2)正确转化题意，如本题(2)中转化为g(x)0恒成立时求a的范围切记不能去掉“”号1(2012高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3Cy Dyx|x|答案：D2(2013高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|解析：选C.利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解A项，y是奇函数，故不正确；B项，ye
15、x为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且yx21在(0，)上是减函数，ylg|x|在(0，)上是增函数，故选C.3(2013高考全国大纲卷)若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)解析：选D.由题意知f(x)0对任意的x恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需a.令h(x)2x，x.因为h(x)2，所以当x时，h(x)0，即h(x)在上单调递减，所以h(x)h3，故a3.4(2012高考安徽卷)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_解析：f(x)|2xa|由图象可知，单调增区间为，)3，a6.答案：6
