1、2020-2021学年天津市师大南开附中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 直线l经过原点和，则它的倾斜角是（ ）A. 45B. 45C. 135D. 45或135【答案】C【解析】【分析】根据已知的两点计算出斜率，再根据倾斜角的正切值为斜率，即可求得倾斜角.【详解】因为直线经过原点和，故，设直线倾斜角为，故，又，故可得.故选：C.【点睛】本题考查已知两点求直线斜率，以及斜率与倾斜角之间的关系.2. 与向量共线的单位向量是（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】求出的，再由与共线的单位向量是，求出结果.【详解】解：向量的模为，故与向量
2、共线的单位向量是，即或.故选：A.【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题.3. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由几何图形可得，然后两边平方，根据向量的数量积可得，进而得到的长度【详解】因为，所以|2=()2=|2+|2+|2)故A1C的长为故选A【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点4. 已知过点的直线的斜率为，则等于（ ）A. 10B. 180C. 6D
3、. 6【答案】D【解析】【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算的值.【详解】过点，的直线斜率为，解得，.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.5. 设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）A. 或B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】由题意得，所求直线l的斜率k满足 或，求出即可.【详解】如图所示，由题意得，所求直线l的斜率k满足 或，即，或，或，即直线的斜率的取值范围是或.故选：A【点睛】本题主要考查直线的斜率公式的应用，属于基础题.6. 若光线从点射到y轴上，经y轴
4、反射后经过点，则光线从点P到点Q走过的路程为（ ）A. 10B. 5C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】关于y轴的对称点，易知光线从点P到点Q走过的路程为.【详解】找到Q点关于y轴的对称点，由对称性可知P，Q间距离等于间的距离，求得.所以本题选C.【点睛】本题考查求点关于y轴的对称点问题和两点间的距离公式，要求熟记公式，掌握数形结合的思想运用，属基础题.7. 直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E为BB的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. -D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成
5、角的余弦值【详解】直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，且，直线与直线平行，则（ ）A. -4B. 0C. -2D. 2【答案】C【解析】l的斜率为1,因为，所以的斜率为1，.由得,，得b=2，所以，a+b=2.故选C.9. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.
6、则M点的坐标为（ ）A. (1，1，1)B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C考点：空间直角坐标系中点的坐标二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）10. 已知，若，且与反向，则_【答案】【解析】【分析】根据题意可设，且，然后可得出，根据解出，即可得出的值.【详解】解：，且与反向，设，解得，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的共线问题，考查运算能力，是基础题.11. 已知，若，共面，则实数_【答案】【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数
7、的值.详解】解：由，且，共面，所以存在实数m，n，使得，即，列方程组，得，解得，；所以.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量共面定理，考查运算能力，是基础题.12. 若直线的方向向量为平面的法向量为，则直线与平面的关系为_【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解：，因此.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.13. 长方体中，那么直线和平面的距离是_【答案】【解析】【分析】结合长方体，将原距离转化为点和平面的距离解决，最终转化为直角三角形斜边上的高求解即可.【详解】解：直线平面，直线和平面的距离即为点
8、和平面的距离.面面，在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d，由面积法得：.故答案为：.【点睛】本题考查线面距离求法，属于基础题.14. 过点(2，3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为_.【答案】或【解析】【分析】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把P点坐标代入，能求出结果.【详解】当直线过原点，即截距都为零时，直线经过原点，直线方程为，整理得直线方程为；当直线不过原点，根据截距式，设直线方程为，把代入，得，则直线方程为.故答案为:或.【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想
9、的合理运用.15. 设，是空间两个不共线向量，已知，且，三点共线，实数_【答案】1【解析】【分析】由题意可得向量和共线，存在实数，使，可得关于k，的方程组，进行求解即可.【详解】解：A，B，D三点共线，向量和共线，故存在实数，使，由题意可得，即，故可得，解得，故.故答案为：1.【点睛】本题考查向量基本定理和共线定理的应用，属于基础题.16. 已知直线，直线，若，则实数的值为_.【答案】或【解析】【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】已知直线，直线，若，则，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.17. 如图，在正四棱
10、锥中，点为的中点，若，则实数_ 【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数【详解】解：连结AC，交BD于O，以O原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PAAB2，则A（，0，0），D（0，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，0），（0，2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），2，b，N（0，0），（，），（，0），MNAD，10，解得实数4故答案为4【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本
11、大题共4小题，共65.0分）18. 已知直线与直线的交点为M.（）求过点M且与直线平行的直线l的方程；（）若直线过点M，且点到的距离为，求直线的方程.【答案】（）（）【解析】【分析】（）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与平行即可求解（）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可.【详解】（）联立 ，解得：. 所以与平行的的直线方程为：，整理得：.（） 当斜率不存在时，不合题意； 当斜率存在时，设，即： .由题得：，解得： ， ； 所以，所求直线的方程为：.【点睛】本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.19. 已知空间三点，设，（1
12、）若，求；（2）若与互相垂直，求；（3）若向量与平行，求【答案】（1）或；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出；（2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值；（3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值.【详解】解：（1）点，由，设，且，解得，或；（2），若与互相垂直，则，即，化简得，解得或；（3）向量，由向量与平行，则，解得或.【点睛】本题考查空间向量平行和垂直的坐标表示，属于基础题.20. 已知的三个顶点分别为，（1）求边和所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的中垂线的方程【答案】（1）边所在直线的方
13、程：，边所在直线的方程：；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出所在直线的方程.（2）利用线段中点坐标公式，算出的中点D坐标为，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出上的中线所在直线的方程.（3）由，得边上的中垂线的斜率为，的中点坐标为，点斜式可求出直线方程.【详解】解：（1），直线的截距式方程得：，化简得.，由直线的两点式方程，得方程为，即，综上所述，边所在直线的方程为，边所在直线的方程为.（2）设中点，由线段的中点坐标公式，可得，中点D坐标为.再由直线的两
14、点式方程，得所在直线的方程为，化简得，即为所求边上的中线所在的直线的方程.（3）由，得边上的中垂线的斜率为，又的中点坐标为，由点斜式，得边上的中垂线的方程为，即.【点睛】本题考查直线的方程的求解，直线垂直的斜率关系，考查运算能力，是基础题.21. 在直四棱柱中，已知，为上一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】解：（1）证明：由题意可知，且，故四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（2）由已知直四棱柱，且，则两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则设面的法向量为，又则，令，可得；设面法向量为，又则，令，可得，设二面角的平面角的大小为，由图可知为锐角，则，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求二面角，是中档题.
