1、第十五讲概率 1.(2018课标全国,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付,也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.(2018陕西质量检测一)从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为()A.12B.13C.14D.153.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下的2种颜色的花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是()A.110B.12 C.13D.564.(2018湖北武汉调研)标有数字1,2,3
2、,4,5的卡片各1张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为()A.12B.15C.35D.255.(2018安徽合肥模拟)某单位实行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:158:30),一名职工在7:50到8:30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,则他能有效刷卡上班的概率是()A.23 B.58 C.13D.386.(2018河南洛阳模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a,则满足2x-y0,y0,x-a0的点(x,y)构成区域的面积大于1的概率是()A.18 B.14C.12 D.347.(
3、2018广东广州调研)如图,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角=6,若向该大正方形区域内随机投掷一点,则该点落在中间小正方形区域内的概率是.8.(2018福建福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上,则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是.9.(2018重庆第一次调研)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx,其中k为-3,3内的任意一个数,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为.10.已知定义在区间-3,3上的函数f(x)=2x+m满足f(2)=6,在-3,3上任取一个实数x,则使
4、得f(x)的值不小于4的概率为.11.(2018安徽合肥模拟)中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:年龄/岁7,20)20,40)40,80频数185436(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛,求这2人来自同一年龄组的概率.12.(2018贵州贵阳模拟)某
5、高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度,对20名毕业生进行问卷计分调查(满分100分),得到如图所示的茎叶图.(1)计算男生打分的平均分,观察茎叶图,评价男、女生打分的分散程度;(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人,求有2女1男被抽中的概率.13.(2018河北石家庄质量检测)某学校为了解高三学生数学学科的复习效果,现从高三学生第一学期期中考试的成绩中随机抽取50名学生的数学成绩(单位:分),按90,100),100,110),140,150分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求m的值及这50名学生数学成绩的平均数 x;(2)该学校为制订下阶段的复习计划,
6、现需从成绩在130,140)内的学生中任选3名作为代表进行座谈,若成绩在130,140)内的学生中男、女比例为21,求至少有1名女生参加座谈的概率.14.据某市房地产数据研究院的数据显示,该市2016年各月新建住宅销售均价走势如图所示,为抑制房价过快上涨,政府从8月份开始采取宏观调控措施,10月份开始房价得到抑制.(1)房地产数据研究院研究发现,3月至7月的各月新建住宅销售均价y(单位:万元/米2)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01),若政府不调控,依据相关关系预测该市在12月份的新建住宅销售均价;(2)房地产数据研究院在2016年的12个月份中,
7、随机抽取2个月份的数据作为样本进行分析,若关注所抽的2个月份所属的季度,求样本中的2个月份恰好在不同季度的概率.参考数据:线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计的计算公式分别为b=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2,a=y-bx.答案精解精析1.B设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.2.A从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数,有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12种结果,其中
8、大于30的两位数有31,32,34,41,42,43,共6个,所以这个两位数大于30的概率P=612=12.故选A.3.C把4种颜色的花种在两个花坛中的所有情况为(红,黄),(白,紫);(红,白),(黄,紫);(红,紫),(黄,白);(黄,白),(红,紫);(黄,紫),(红,白);(白,紫),(红,黄),共有6种,其中红色和紫色的花种在同一花坛的情况有2种,所以红色和紫色的花种在同一花坛的概率P=26=13.故选C.4.A5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,基本事件的总数n=54=20,抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有:第1张抽到2,第2张抽
9、到1;第1张抽到3,第2张抽到1或2;第1张抽到4,第2张抽到1或2或3;第1张抽到5,第2张抽到1或2或3或4.共10种.故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P=1020=12,故选A.5.D该职工在7:50到8:30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,设其构成的区域为线段AB,且AB=40,职工的有效刷卡时间是8:15到8:30之间,设其构成的区域为线段CB,且CB=15,如图,所以该职工有效刷卡上班的概率P=1540=38,故选D.6.C作出约束条件2x-y0,y0,x-a0表示的平面区域,如图中阴影部分所示,则阴影部分的面积S=12a2a=a21,1a2,解得k1或k-
10、1,又k-3,3,所以-3k-1或1k3,故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P=(3-1)+(-1+3)23=3-33=1-33.10.答案13解析f(2)=6,22+m=6,解得m=2.f(x)4,2x+24,x1,而x-3,3,故根据几何概型的概率计算公式,得f(x)的值不小于4的概率P=26=13.11.解析(1)因为样本容量与总体容量的比是6108=118,所以从年龄在7,20)段中抽取的人数为11818=1,从年龄在20,40)段中抽取的人数为11854=3,从年龄在40,80段中抽取的人数为11836=2,所以从年龄在7,20),20,40),40,80段中抽取的挑战者的人数分别
11、为1,3,2.(2)设从7,20)中抽取的1人为a,从20,40)中抽取的3人分别为b,c,d,从40,80中抽取的2人分别为e,f.从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15个,每人被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的,记事件A为“2人来自同一年龄组”,包含(b,c),(b,d),(c,d),(e,f),共4个基本事件,则P(A)=415,故2人来自同一年龄组的概率为415.12.解析(1)男生打分
12、的平均分为110(55+53+62+65+71+70+73+74+86+81)=69分.由茎叶图知,女生打分比较集中,男生打分比较分散.(2)因为打分在80分以上的有3女2男,记3名女生分别为A1,A2,A3,2名男生分别为B1,B2,从中随机抽取3人的基本事件为A1A2A3,A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A1B1B2,A2B1B2,A2A3B1,A2A3B2,A3B1B2,共10个,记“有2女1男被抽中”为事件A,则A包含的基本事件为A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A2A3B1,A2A3B2,共6个,故有2女1男被抽中的概率为35.13.解析
13、(1)由题知,(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)10=1,解得m=0.008.x=950.00410+1050.01210+1150.02410+1250.0410+1350.01210+1450.00810=121.8(分).(2)由频率分布直方图可知,成绩在130,140)内的学生有0.0121050=6(名),由题可知这6名学生中男生有4名,女生有2名,记男生分别为A,B,C,D,女生分别为a,b,则从6名学生中选出3名的所有可能情况为ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb,ADa,ADb,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,CDa,CD
14、b,Aab,Bab,Cab,Dab,共20种.其中不含女生的情况为ABC,ABD,ACD,BCD,共4种.记“至少有1名女生参加座谈”为事件A,则P(A)=1-420=45.14.解析(1)由题意,易得3月份至7月份的各月新建住宅销售均价y与月份x的数据如下表:月份x34567均价y0.950.981.111.121.20由表中数据可得x=15(3+4+5+6+7)=5,y=15(0.95+0.98+1.11+1.12+1.20)=1.072,5i=1(xi-x)(yi-y)=(3-5)(0.95-1.072)+(4-5)(0.98-1.072)+(5-5)(1.11-1.072)+(6-5)
15、(1.12-1.072)+(7-5)(1.20-1.072)=0.64,5i=1(xi-x)2=(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10,所以b=5i=1(xi-x)(yi-y)5i=1(xi-x)20.06,a=y-bx0.77,所以y关于x的线性回归方程为y=0.06x+0.77,把x=12代入上式得,y=1.49,故预测该市12月份的新建住宅销售均价为1.49万元/米2.(2)设抽取的2个月份为(X,Y),则基本事件的情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,12),(2,3),(2,4),(2,5),(2,12),(3,4),(3,5),(3,12),(11,12),共有1+2+3+11=(1+11)112=66(种).其中2个月份恰在同一季度的情况有:(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6),(7,8),(7,9),(8,9),(10,11),(10,12),(11,12),共有12种.故所求样本中的2个月份恰好在不同季度的概率P=1-1266=911.
