1、广东省肇庆市2020届高三数学下学期质量监测试题 文(含解析)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算,再计算交集得到答案.【详解】,故.故选:【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.2. 已知复数,则复数在复平面内对应点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,,故复数在复平面内对应点为,因为是第四象限
2、的点,故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.3. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较,其中,则可得结论.【详解】,.故选:C.【点睛】本题考查了指数幂,对数之间的大小比较问题,是指数函数,对数函数的性质的应用问题,其中选择中间量0和1是解题的关键,属于基础题.4. 为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果,现对200只动物进行调研,并得到如下数据:未发病发病合计未注射疫苗206080注射疫苗8040120合计100100200(附:)0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828
3、则下列说法正确的:( )A. 至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B. 至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”C. 至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D. “发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%【答案】A【解析】【分析】根据所给表格及公式,即可计算的观测值,对比临界值表即可作出判断.【详解】根据所给表格数据,结合计算公式可得其观测值为,所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”,故选:A.【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用,属于基础题.5. 已知双曲线:(,)右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲
4、线的离心率为( )A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】分析】由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【详解】由已知,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线的距离为,故,所以离心率为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易题.6. 聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: .则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则n=()A. 7B. 35C. 48D. 63【答案】D【解析】【分析】
5、由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.【详解】考查所给的等式的特征,归纳其性质有:若等式左侧根号外面的数为,则根号内部的分子为,分母为,据此归纳推理可知:.本题选择D选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法7. 函数在区间上的大致图像为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除A,D,根据,函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得是偶函数,排除A,D两个选项,当时,当时,所以当时,仅有一个零点.故选:C
6、【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题,解题时要善于观察出函数的一个零点,再分别讨论,函数值的正负便可得出选项.8. 执行下面的程序框图,若输出的结果是16,则空白框中应填( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.【详解】A:若空白处是,时,成立,成立,所以成立,所以成立,所以不成立,故,不符合题意;B:若空白处是,时,成立,成立,所以成立,所以成立,所以不成立,故,不符合题意;C:若空白处是,时,成立,成立,所以成立,所以成立,所以不成立,故,不符合题意;D:若空白处是,时,成立,成立,所以成立,所以成立,所以不成立,故,符合题
7、意.故选:D【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图,考查了数学运算能力.9. 已知函数(,)的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数的最小正周期为,为函数的一条对称轴,则函数的一个单调递增区间为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简函数为,再由平移变换得到,然后根据的最小正周期为,为的一条对称轴,求得,再利用正弦函数的性质求解.【详解】由题意知,所以,因为的最小正周期为,所以,解得,所以,因为为的一条对称轴,则(),即(),因为,可得,所以函数,令(),解得,(),当时,.故选:C【点睛】本题主要考查辅助角公式,三角函数图象变换,三角函数的性质的
8、应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据,利用正弦定理边化为角得,整理为,根据,得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【详解】由得,即,即,因为,所以,由余弦定理,所以,由的面积公式得故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11. 已知抛物线的焦点为F,过点F的直线交抛物线于M,N两点,直线与,的延长线交于P,Q两点,则( )A. B
9、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当直线垂直于x轴,根据相似,得到,当直线不垂直于x轴,联立,得到,利用三角形面积公式,得到,从而得到答案.【详解】当直线垂直于x轴时,与相似,所以;当直线不垂直于x轴时,设直线的方程为,设.联立得,所以,所以.综上,故选:D.【点睛】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的交点,抛物线中三角形面积问题,属于中档题.12. 已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的零点就是方程的解,设,方程可化为,即或,求出的导数,利用导数得出函数的单调性和最值,由此可根据方程解的个数得出的范围
10、【详解】由题意得有四个大于1的不等实根,记,则上述方程转化为,即,所以或,因为,当时,单调递减:当时,单调递增;所以在处取得最小值,且最小值为.因为,所以有两个符合条件的实数解,故在区间上恰有四个不相等的零点,需且.故选:B.【点睛】本题考查复合函数的零点考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本题考查了学生分析问题解决问题的能力二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 已知平面向量,且,则向量与的夹角的大小为_【答案】【解析】【分析】由,解得,进而求出,即可得出结果.【详解】解:因为,所以,解得,所以,所以向量与的夹角的大小为都答案为:.【
11、点睛】本题主要考查平面向量的运算,平面向量垂直,向量夹角等基础知识;考查运算求解能力,属于基础题14. 在区间上随机取一个数k,则能够使直线与圆相交的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系得到,根据几何概型公式计算得到答案.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得,故相交的概率.故答案为:.【点睛】本题考查了几何概型,直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力.15. 已知函数,则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数;利用导数可得到的单调性;将不等式转化为,利用单调性可得自变量的大小关系,解不等式可求得结果.【详解
12、】由题意得: 为上的奇函数, 且不恒等于零在上单调递增等价于,解得:本题正确结果:【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题,关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性,从而将不等式转化为函数值的比较,利用单调性进一步得到自变量的大小关系.16. 在三棱锥中,底面为,且,斜边上的高为,三棱锥的外接球的直径是,若该外接球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】分析:由题意,画出图形,设,把棱锥的体积用含有的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.【详解】如图所示,由外接球的表面积为,可得外接球的半径为,则,设,则,又边上的高,当平面时
13、,棱锥的体积最大,此时,当时,体积最大,此时最大值为.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题,以及三棱锥的体积的求法,解答时要认真审题,注意球的性质的合理运用,把球的体积表示关于的函数表达式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列的前项和为,且.(1)证明:数列为常数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)由,得,即,又由,即可得到本题答案;(2)由(1)得,即可得到本题答案.【详解】(1)当时,所以;当时,由,得,-得,所以,因为,
14、所以,所以,故数列为常数列;(2)由(1)知,所以,所以.【点睛】本题主要考查的应用及用裂项相消法求和,考查计算能力,属于中等题.18. 在三棱柱中,侧面底面,且点为中点.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】试题分析:(1)利用等腰三角形的性质可得,利用面面垂直的性质可得平面,根据线面垂直的性质可得结论;(2)先证明平面,可得到平面的距离等于到平面的距离,利用等积变换及棱锥的体积公式可得 .试题解析:(1),且为的中点.又平面平面,平面平面,且平面,平面.平面,.(2),平面,平面,平面.即到平面的距离等于到平面的距离.由(1)知平面且.三棱锥的
15、体积: .19. 某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:月份12345销量(百台)0.60.81.21.61.8(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测6月份该商场空调的销售量;(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分
16、层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据:线性回归方程,其中,.【答案】(1);2.16(百台);(2)【解析】【分析】(1)由题意计算平均数与回归系数,写出线性回归方程,再利用回归方程计算对应的函数值;(2)利用分层抽样法求得抽取的对应人数,用列举法求得基本事件数,再计算所求的概率值【详解】(1)因为,所以,则,于是关于回归直线方程为.当时,(百台).(2)现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,则购买意愿为7月份
17、的抽4人记为,购买意愿为12月份的抽2人记为,从这6人中随机抽取3人的所有情况为、,共20种,恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、,共4种,故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题,是中档题20. 已知椭圆:的左、右焦点分别为,左顶点为,离心率为,点是椭圆上的动点,的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点,线段的中垂线为.若直线与直线相交于点,与直线相交于点,求的最小值.【答案】见解析.【解析】试题分析:(1)由已知,有,可得. 设点的纵坐标为.可得的最大值 求出,.即可得到椭圆的方程;(2)由题意知直线的斜率不为,故
18、设直线:.设,.联立,得.由弦长公式可得 ,由此得到的表达式,由基本不等式可得到的最小值.试题解析:(1)由已知,有,即.,.设点的纵坐标为.则 ,即.,.椭圆的方程为.(2)由题意知直线的斜率不为,故设直线:.设,.联立,消去,得.此时.,.由弦长公式,得 .整理,得.又, . . ,当且仅当,即时等号成立.当,即直线的斜率为时,取得最小值.21. 已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数在区间上有唯一的极值点,求的取值范围,并证明:.【答案】(1)递增区间是,递减区间是;(2),见解析【解析】【分析】(1)当时,求出函数的定义域和导数,结合导数的取值的正负,即可求得函数的单调区
19、间;(2)求得,令,根据函数在区间上有唯一的极值点,得出在上有唯一的解,根据求得的范围,再由由,得到,结合函数的单调性和最值,即可求解【详解】(1)由题意,函数,当时,函数.则,令,即且,可得,令,即,可得.所以当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由函数,则,记,因为在区间上有唯一的极值点,又,根据二次函数的图象分析可知,只需即可,即,解得,所以实数的取值范围是,又由,可得,所以,又由函数,可得,可得函数在上单调递增,且,所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数
20、,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题22. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,)以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为().(1)求曲线、的直角坐标方程.(2)若、分别为、上的动点,且、间距离的最小值为,求实数的值.【答案】(1),.(2)或者.【解析】【详解】分析:(1)消去参数可得的直角坐标方程为,极坐标方程化为直角坐标方程为.(2)设,由点到直线距离公式可得到的距离,结合题意分类讨论可得或者.详解:(1)消去参数可得的直角坐标方程为,的方程即:,即
21、,则直角坐标方程:.(2)设,则到的距离 ,.由、间距离的最小值为知:当时,不符合题意.当时,得;当时,得.综上:或者.点睛:本题主要考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程与互化,极坐标方程的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知实数正数x, y满足.(1)解关于x的不等式; (2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由已知得,并把代入不等式后利用绝对值的性质解不等式;(2)把和中的分子1用代换,然后化简后用基本不等式可证明【详解】(1)解得,所以不等式的解集为(2)且,. 当且仅当时,等号成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查不等式的证明解题关键是“1”的代换,解不等式是利用消元法,而不等式的证明用到了“1”的代换,代换时要注意次数的一致性,否则达不到目的