1、广东省肇庆市2020届高三数学下学期质量监测试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2. 已知复数，则复数在复平面内对应点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.【详解】由题意可得,，故复数在复平面内对应点为，因为是第四象限
2、的点，故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算及其几何意义;属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中，则可得结论.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.4. 为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：未发病发病合计未注射疫苗206080注射疫苗8040120合计100100200（附：）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828
3、则下列说法正确的：（ ）A. 至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”B. 至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”C. 至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”D. “发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%【答案】A【解析】【分析】根据所给表格及公式，即可计算的观测值，对比临界值表即可作出判断.【详解】根据所给表格数据，结合计算公式可得其观测值为，所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，故选：A.【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.5. 已知双曲线：（，）右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲
4、线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【详解】由已知，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.6. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： .则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=（）A. 7B. 35C. 48D. 63【答案】D【解析】【分析】
5、由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：若等式左侧根号外面的数为，则根号内部的分子为，分母为，据此归纳推理可知：.本题选择D选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法7. 函数在区间上的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，当时，当时，所以当时，仅有一个零点.故选：C
6、【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.8. 执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.【详解】A：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；B：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；C：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；D：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，符合题
7、意.故选：D【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图，考查了数学运算能力.9. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为，为函数的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简函数为，再由平移变换得到，然后根据的最小正周期为，为的一条对称轴，求得，再利用正弦函数的性质求解.【详解】由题意知，所以，因为的最小正周期为，所以，解得，所以，因为为的一条对称轴，则（），即（），因为，可得，所以函数，令（），解得，（），当时，.故选：C【点睛】本题主要考查辅助角公式，三角函数图象变换，三角函数的性质的
8、应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，直线与，的延长线交于P，Q两点，则（ ）A. B
9、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当直线垂直于x轴，根据相似，得到，当直线不垂直于x轴，联立，得到，利用三角形面积公式，得到，从而得到答案.【详解】当直线垂直于x轴时，与相似，所以；当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，设.联立得，所以，所以.综上，故选：D.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的交点，抛物线中三角形面积问题，属于中档题.12. 已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围
10、【详解】由题意得有四个大于1的不等实根，记，则上述方程转化为，即，所以或，因为，当时，单调递减：当时，单调递增；所以在处取得最小值，且最小值为.因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的零点考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量，且，则向量与的夹角的大小为_【答案】【解析】【分析】由，解得，进而求出，即可得出结果.【详解】解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为都答案为：.【
11、点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题14. 在区间上随机取一个数k，则能够使直线与圆相交的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系得到，根据几何概型公式计算得到答案.【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得，故相交的概率.故答案为：.【点睛】本题考查了几何概型，直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.15. 已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.【详解
12、】由题意得： 为上的奇函数， 且不恒等于零在上单调递增等价于，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.16. 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】分析：由题意,画出图形,设,把棱锥的体积用含有的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.【详解】如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则，设，则，又边上的高，当平面时
13、，棱锥的体积最大，此时，当时，体积最大，此时最大值为.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为常数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，得，即，又由，即可得到本题答案；（2）由（1）得，即可得到本题答案.【详解】（1）当时，所以；当时，由，得，-得，所以，因为，
14、所以，所以，故数列为常数列；（2）由（1）知，所以，所以.【点睛】本题主要考查的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.18. 在三棱柱中，侧面底面，且点为中点.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可得，利用面面垂直的性质可得平面，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得 .试题解析：（1），且为的中点.又平面平面，平面平面，且平面，平面.平面，.（2），平面，平面，平面.即到平面的距离等于到平面的距离.由（1）知平面且.三棱锥的
15、体积： .19. 某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分
16、层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百台）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值【详解】（1）因为，所以，则，于是关于回归直线方程为.当时，（百台）.（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份
17、的抽4人记为，购买意愿为12月份的抽2人记为，从这6人中随机抽取3人的所有情况为、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.【答案】见解析.【解析】试题分析：（1）由已知，有，可得. 设点的纵坐标为.可得的最大值 求出，.即可得到椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率不为，故
18、设直线：.设，.联立，得.由弦长公式可得 ，由此得到的表达式，由基本不等式可得到的最小值.试题解析：（1）由已知，有，即.，.设点的纵坐标为.则 ，即.，.椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.设，.联立，消去，得.此时.，.由弦长公式，得 .整理，得.又， . . ，当且仅当，即时等号成立.当，即直线的斜率为时，取得最小值.21. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2），见解析【解析】【分析】（1）当时，求出函数的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数的单调区
19、间；（2）求得，令，根据函数在区间上有唯一的极值点，得出在上有唯一的解，根据求得的范围，再由由，得到，结合函数的单调性和最值，即可求解【详解】（1）由题意，函数，当时，函数.则，令，即且，可得，令，即，可得.所以当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由函数，则，记，因为在区间上有唯一的极值点，又，根据二次函数的图象分析可知，只需即可，即，解得，所以实数的取值范围是，又由，可得，所以，又由函数，可得，可得函数在上单调递增，且，所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数
20、，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（1），.（2）或者.【解析】【详解】分析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）设，由点到直线距离公式可得到的距离，结合题意分类讨论可得或者.详解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，的方程即：，即
21、，则直角坐标方程：.（2）设，则到的距离 ，.由、间距离的最小值为知：当时，不符合题意.当时，得；当时，得.综上：或者.点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知实数正数x， y满足.（1）解关于x的不等式； （2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得，并把代入不等式后利用绝对值的性质解不等式；（2）把和中的分子1用代换，然后化简后用基本不等式可证明【详解】（1）解得，所以不等式的解集为（2）且，. 当且仅当时，等号成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明解题关键是“1”的代换，解不等式是利用消元法，而不等式的证明用到了“1”的代换，代换时要注意次数的一致性，否则达不到目的