1、课时规范练42椭圆及几何性质基础巩固组1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且过点(0,-6)的椭圆方程为()A.x236+y220=1B.x220+y236=1C.x236+y216=1D.x216+y236=12.(2020广东深圳外国语学校高三考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为53,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为()A.8B.6C.5D.43.(2020湖南长沙一中高三段考)已知P是椭圆上一点,F是椭圆的一个焦点,则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是()A.相离B.内切C.内含D.相交4.已知F1,F2为椭圆x2a2
2、+y2b2=1(ab0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,BF1BF214F1F22,则椭圆的离心率的取值范围为()A.0,12B.0,22C.0,33D.12,15.(多选)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长,下列式子中正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a2a1
3、c2D.c1a1b0)的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=bx的对称点Q在椭圆C上,则离心率e=,SFOQ=.7.(2019全国3,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.综合提升组8.(2019全国1,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分
4、别为F1,F2,P是椭圆上一点,PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60PF1F2b0),F1,F2为其左、右焦点,B1,B2为其上、下顶点,四边形F1B1F2B2的面积为2,P为椭圆E上任意一点,以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值,并确定此时椭圆E的方程.(2)对于(1)中确定的椭圆E,若给定圆F1:(x+1)2+y2=3,则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值?若是,求|MN|的值;若不是,请说明理由.参考答案课时规范练42椭圆及几何性质1.B由题意,椭圆焦点坐标为(0,-4),(0,4),可得椭圆的焦点在y轴,且c=4,又由过点(
5、0,-6),则a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以椭圆的标准方程为x220+y236=1.故选B.2.A椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=ca=53,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,则a=6,c=25,所以b=a2-c2=36-20=4,则椭圆短轴长为2b=8.故选A.3.B不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F,F分别是椭圆的左右焦点,作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2,如图所示.设PF中点为M,连接PF,OM是PFF的中位线,|OM|=12|PF|,即两圆的圆心距为12|PF|,根据椭圆定义,可得|PF
6、|+|PF|=2a,圆心距|OM|=12|PF|=12(2a-|PF|)=a-12|PF|,即两圆的圆心距等于它们半径之差,以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是内切.故选B.4.C由椭圆定义可知|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,则sinOBF1=ca=e,所以cosF1BF2=1-2sin2OBF1=1-2e2,因为BF1BF214F1F22,即(1-2e2)a2c2,(1-2e2)e2,即e213.所以0a2,c1c2,a1+c1a2+c2,A不正确;a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,a1-c1=a2-c2,B正确;由a1+c2=a2+c1,可得
7、(a1+c2)2=(a2+c1)2,a12-c12+2a1c2=a22-c22+2a2c1,即b12+2a1c2=b22+2a2c1,b1b2,a2c1a1c2,C正确;可得c1a1c2a2,D不正确.故选BC.6.2212设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y=bx对称得yx-1=-1b,y2=bx+12,解得x=1-b21+b2,y=2b1+b2,代入椭圆C的方程得(1-b2)2a2(1+b2)2+4b2b2(1+b2)2=1,结合a2=b2+1解得a=2,b=1,则椭圆的离心率e=ca=22,SFOQ=12|OF|2b1+b2=12121+12=12.7.(3,1
8、5)a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15).8.B如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,
9、故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b).kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.9.B由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF
10、1|cosPF1F2=4c2+4c2-22c2ccosPF1F2,即|PF2|=22c1-cosPF1F2,所以a=|PF1|+|PF2|2=c+2c1-cosPF1F2,又60PF1F2120,所以-12cosPF1F212,所以2ca(3+1)c,则13+1ca12,即3-12e12.10.(0,3)如图,延长PF2,F1M相交于点N,K是F1PF2内切圆的圆心,PK平分F1PF2,F1MPK,|PN|=|PF1|,M为F1N中点,O为F1F2中点,M为F1N中点,|OM|=12|F2N|=12|PN|-|PF2|=12|PF1|-|PF2|12|F1F2|=c=3,|OM|的取值范围为(
11、0,3).11.解(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc,所以2bc=2.因为|A1A2|=2a=2b2+c222bc=22,当且仅当b=c=1时,等号成立,此时a=2,所以长轴A1A2的长的最小值为22,此时椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)是定值.设点P(x0,y0),则x022+y02=1,所以y02=1-x022.圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+y02,即x2+y2-2x0x-2y0y=0,圆F1的方程为(x+1)2+y2=3,即x2+y2+2x-2=0,-得公共弦MN所在直线的方程为(x0+1)x+y0y-1=0,所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d=|x0+2|(x0+1)2+y02=|x0+2|(x0+1)2+1-12x02=|x0+2|12x02+2x0+2=2,则|MN|=23-d2=2,所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.
